Równie liczb zespolonych

[Kseon]

Polecenie następujące.
Rozwiąż równanie zespolone: \(\displaystyle{ z^{2}+|z|=2ire(z)}\)
Moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ z^{2}+|z|=2ire(z)}\)
\(\displaystyle{ z^{2}+ \sqrt{z^{2}}-2ire(z) =0}\)
\(\displaystyle{ z=a+bi}\) wtedy
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}+ \sqrt{a^{2}+b^{2}}-2ia =0}\)
\(\displaystyle{ a^{2}+2abi- b^{2} +\sqrt{a^{2}+b^{2}}-2ia=0}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a^{2}- b^{2}+\sqrt{a^{2}+b^{2}}=0 \\ 2ab-2a=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ 2a(b-1)=0}\)
\(\displaystyle{ a=0 \wedge b=1}\)
Podstawiam do pierwszego równania
\(\displaystyle{ a=0 b^{2} +|b|=0}\)
dla \(\displaystyle{ b \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}=1}\)
\(\displaystyle{ b_{1}= \frac{-1+1}{2}=0}\)
\(\displaystyle{ b_{2}= \frac{-1-1}{2}=-1 \le 0}\)
dla \(\displaystyle{ b<0}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{delta}=1}\)
\(\displaystyle{ b_{1}= \frac{1+1}{2}=1>0}\)
\(\displaystyle{ b_{2}= \frac{1-1}{2}=0}\)

\(\displaystyle{ z=0}\)

Prosił bym o sprawdzenie poprawności rozwiazania.

[sebnorth]

1. Ta linijka jest niepotrzebna(i troche podejrzana):

\(\displaystyle{ z^{2}+ \sqrt{z^{2}}-2ire(z) =0}\)

2. Tu alternatywa zamiast koniunkcji ale domyslam się że to literówka: \(\displaystyle{ a=0 \wedge b=1}\)

3. No i teraz ten drugi przypadek został czyli \(\displaystyle{ b=1}\).

\(\displaystyle{ a^{2}- 1 + \sqrt{a^{2}+1}=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{a^{2}+1} = 1-a^{2} [*]}\)

\(\displaystyle{ a^{2} + 1 = 1 -2a^{2} + a^{4}}\)

\(\displaystyle{ a^{4} -3a^{2} = 0.}\)

\(\displaystyle{ a^{2} = 0 \hbox{ lub } a^{2} = 3.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ a=0}\) to mamy liczbę \(\displaystyle{ z = i}\).

Jesli \(\displaystyle{ a^{2}=3 \hbox{ to } 1 - a^{2} < 0}\) i sprzeczność z \(\displaystyle{ [*]}\)

Wychodzą wtedy dwa rozwiązania:

Twoje \(\displaystyle{ z=0}\) i moje \(\displaystyle{ z=i}\).