Liczby zespolone postać wykładnicza

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
kratos666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 9 lut 2011, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żory
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone postać wykładnicza

Post autor: kratos666 »

Witam
Prosił bym o parę wskazówek do zadań. Sporo rozwiązałem ale te to nawet nie wiem jak ukąsić
a)Zaznaczyc na płaszczyźnie zespolonej liczbę z a następnie obliczyć \(\displaystyle{ Im(z)}\), \(\displaystyle{ arg(z)}\), gdzie
\(\displaystyle{ z= \left( 2i+ e^{ \frac{\pi i}{7}} + e^{\frac{6\pi i}{7}} \right) \cdot i}\)

b) \(\displaystyle{ z^{2} =\left| \frac{i+1}{1-\frac{2-i^7}{1-2i}} \right|}\) - | | wartość bezwzględna

c)Obliczyć w ciele liczb zespolonych \(\displaystyle{ \sqrt[3]{-27}}\)

d)Obliczyc \(\displaystyle{ Re(z)}\), \(\displaystyle{ Im(z)}\), \(\displaystyle{ |z|}\) oraz \(\displaystyle{ arg(z)}\), gdzie \(\displaystyle{ z= \frac{2-2i}{-1+e^{\frac{\pi i}{2}}} \cdot e^{\pi i}}\)

Pozdrawiam
Ostatnio zmieniony 10 lut 2011, o 13:20 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Całe wyrażenia matematyczne umieszczaj w tagach [latex] [/latex].
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Liczby zespolone postać wykładnicza

Post autor: sebnorth »

w c) jest mało pisania

Skorzystamy ze wzoru na pierwiastek z liczby zespolonej

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \{ \sqrt[n]{|z|} (\cos{ \frac{\varphi + 2k \pi }{n}} + i \cdot \sin{ \frac{\varphi + 2k \pi }{n} ), k =0,1, \ldots, n-1 \}}\)

dla liczby \(\displaystyle{ z = |z|(\cos \varphi + i\cdot \sin \varphi)}\).

U nas: \(\displaystyle{ n=3, z = -27, |z| = 27, \varphi = 0}\).

-- 9 lut 2011, o 21:41 --

ad d)

\(\displaystyle{ \frac{2-2i}{-1+e^{\pi i/2}} \cdot e^{\pi i} = ?}\)


\(\displaystyle{ \frac{2-2i}{-1+e^{\pi i/2}} = \frac{2(1-i)}{-1+i} = \frac{2(1-i)}{-(1-i)} = -2}\)


\(\displaystyle{ e^{\pi i} = -1}\)

czyli \(\displaystyle{ \frac{2-2i}{-1+e^{\pi i/2}} \cdot e^{\pi i} = 2}\)

\(\displaystyle{ \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
Re(z) & Im(z) & izi & arg(z) \\ \hline
2 & 0 & -2 & 0 \\ \hline
\end{tabular}}\)
kratos666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 9 lut 2011, o 20:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Żory
Podziękował: 1 raz

Liczby zespolone postać wykładnicza

Post autor: kratos666 »

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ e^{ \pi i/3} e^{2 \pi i/3} }}\)
Awatar użytkownika
sebnorth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 635
Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
Pomógł: 201 razy

Liczby zespolone postać wykładnicza

Post autor: sebnorth »

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{e^{ \pi i/3} e^{2 \pi i/3} }}\)

\(\displaystyle{ = \sqrt[3]{e^{\pi i/3 + 2 \pi i/3}} = \sqrt[3]{ e^{ i \cdot \pi } } = \sqrt[3]{-1}}\)

i dalej podobnie jak wyżej
ODPOWIEDZ