Wzór de Moivre'a do sprawdzenia

[sebasl]

Proszę o sprawdzenie działania:
\(\displaystyle{ z=(-1+ sqrt{3} j)^{29} \
|z|= sqrt{1+3}= sqrt{4}=2 \
cos varphi=- frac{1}{2} \
sin varphi= frac{ sqrt{3} }{2} \
varphi= pi- frac{pi}{3}= frac{2}{3}pi \
z= 2^{29} [-cos(29* frac{2}{3}pi)+jsin(29* frac{2}{3}pi)] \
z= 2^{29} [-cos(2pi+27* frac{2}{3}pi)+jsin(2pi+27* frac{2}{3}pi)] \
z= 2^{29} [-cos(2pi+12pi)+jsin(2pi+18pi) \
z= 2^{29}(-(-1)-0) \
z= 2^{29}}\)

[Piotrekkk]

\(\displaystyle{ z= 2^{29} [\cos(29* \frac{2}{3}\pi)+j\sin(29* \frac{2}{3}\pi)]}\)
do tego momentu jest dobrze, potem źle wyłączasz okres, w nawiasie powinno być
\(\displaystyle{ 29\cdot \frac{2}{3}\pi = \frac{58}{3} \pi = 20\pi - \frac{2}{3}\pi}\)
i \(\displaystyle{ 20\pi}\) można opuścić z uwagi na okres

[sebasl]

i po opuszczeniu jak to dalej wyliczyć ??

[Piotrekkk]

Jeśli stosujesz wzór tylko, masz \(\displaystyle{ z= 2^{29} [\cos(29* \frac{2}{3}\pi)+j\sin(29* \frac{2}{3}\pi)]}\) i dalej to:
\(\displaystyle{ z= 2^{29} (\cos (-\frac{2}{3}\pi)+i \sin (-\frac{2}{3}\pi))}\)
potem opuszczam minus
\(\displaystyle{ z= 2^{29} (\cos (\frac{2}{3}\pi)-i \sin (\frac{2}{3}\pi))}\)
teraz wzory redukcyjne dla kąta \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi=\pi-\frac{1}{3}\pi}\)
\(\displaystyle{ z= 2^{29} (-\cos (\frac{1}{3}\pi)-i \sin (\frac{1}{3}\pi))}\) i potem masz wynik
\(\displaystyle{ z= 2^{29} (-\frac{1}{2}-\frac{i}{2})}\)

[sebasl]

to ta liczba np. 20 w tym przypadku musi być parzysta żeby ją opuścić?

[Piotrekkk]

tak można myśleć, okres cos i sin to \(\displaystyle{ 2\pi}\), więc \(\displaystyle{ 20\pi = 10 \cdot 2\pi}\)

[sebasl]

aha. To dzieki za pomoc