Obliczyć wszystkie zespolone pierwiastki równania

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 08:27

Mam problem z zadaniami, otóż

1. Obliczyć wszystkie zespolone pierwiastki równania
\(\displaystyle{ z ^{4} -16 = 0}\)

2. W ciele C obliczyć równanie
\(\displaystyle{ z ^{} + 2iz + 15 = 0}\)

Jak dokładnie powinno wyglądać rozwiązanie tych zadań? Dziękuje z góry:)

Althorion · Post autor: **Althorion** » 8 lut 2011, o 09:05

Ad 1.:
\(\displaystyle{ z^4 - 16 = 0 \\ (z^2 - 4)(z^2 + 4) = 0 \\ (z-2)(z+2)(z-2i)(z+2i) = 0}\)
Dalej widać.

Ad 2.:
W tym drugim nie zgubiłeś żadnej potęgi ani nic?
\(\displaystyle{ z + 2iz + 15 = 0 \\ (1+2i)z = -15 \\ z = \frac{-15}{1+2i} = -3 + 6i}\).

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 12:14

Za pierwsze dziękuje bardzo:) co do drugiej faktycznie zgubiłem potęgę. Wybacz to na szybko było bo śpieszyłem się na uczelnie. Powinno być tak:

\(\displaystyle{ z ^{2} + 2iz + 15 = 0}\)

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 8 lut 2011, o 12:24

No to rozwiązujesz jak zwyczajne równanie kwadratowe - delta i miejsca zerowe.

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 12:49

Nie wiem co dalej z tym pierwszym... mógłbyś dalej rozpisać?

co do drugiego:

\(\displaystyle{ z ^{2} +2iz+15=0}\)
Delta = \(\displaystyle{ 4-4 \cdot 1 \cdot 15}\)
Delta = \(\displaystyle{ -56}\)
Delta ujemna i nie ma pierwiastków

Dobrze rozumiem?

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 16:01

w 1. iloczyn jest równy zero, któryś z jego czynników jest równy zero, a więc masz:
\(\displaystyle{ (z-2)(z+2)(z-2i)(z+2i) = 0\\
z=2 \vee x=-2 \vee z=2i \vee z=-2i}\)

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 8 lut 2011, o 18:12

\(\displaystyle{ \Delta=-56 \\
\sqrt{\Delta}=\sqrt{56} i \\
\sqrt{\Delta}=-\sqrt{56} i}\)

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 18:16

nie powinno być:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=-\sqrt{64} i}\)

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 8 lut 2011, o 18:18

Wcześniej tego nie sprawdzałam, ale faktycznie powinno być \(\displaystyle{ \Delta=-64}\).

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 18:18

archi_elo · Post autor: **archi_elo** » 8 lut 2011, o 19:03

A dlaczego delta wyszła wam
\(\displaystyle{ \sqrt{-64}}\)? Według mnie delta wychodzi \(\displaystyle{ -56}\), a wiec wyszła ujemna, ale możemy to zapisać jako \(\displaystyle{ 56i^{2}}\), a więc pierwiastek z delty=\(\displaystyle{ \sqrt{56i}}\), a dalej podstawiasz do wzoru na pierwiastki.

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 19:14

\(\displaystyle{ z^2+2iz+15=0\\
\Delta=(2i)^2-4\cdot 15\\
\Delta=-4-60\\
\Delta=-64}\)

archi_elo · Post autor: **archi_elo** » 8 lut 2011, o 19:21

Faktycznie, nie wziąłem pod uwagę \(\displaystyle{ i}\). Przepraszam za wprowadzenie w błąd.

mazurxD · Post autor: **mazurxD** » 8 lut 2011, o 19:46

żaden problem

KOZACKI BOHUN · Post autor: **KOZACKI BOHUN** » 8 lut 2011, o 21:52

dziękuje!