liczby na okręgu jednostkowym
liczby na okręgu jednostkowym
Niech \(\displaystyle{ a, b}\) beda liczbami zespolonymi, gdzie \(\displaystyle{ \left|a \right| \neq \left|b \right|}\) i \(\displaystyle{ z}\) unimodulowa liczba zespolona ( \(\displaystyle{ \left| z \right|= 1}\)). Pokaż, że wtedy zachodzi : \(\displaystyle{ \overline{b}z+ a \neq 0}\) i liczba zespolona: \(\displaystyle{ w:= \frac{\overline{a}z+ b}{\overline{b}z+ a}}\) także jest unimodulowa.(\(\displaystyle{ z \in C \iff \left| z \right|= 1}\))
Ostatnio zmieniony 7 lut 2011, o 19:42 przez lukasz1804, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
Powód: Poprawa wiadomości. Staraj się lepiej dobierać nazwy tematów, tak by wskazywały o czym jest treść zadania.
-
silvaran
- Użytkownik
- Posty: 1300
- Rejestracja: 6 sty 2009, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice/Warszawa
- Podziękował: 60 razy
- Pomógł: 123 razy
liczby na okręgu jednostkowym
Dowód nie wprost
Załóżmy, że spełnione są założenia i \(\displaystyle{ \overline{b}z+ a = 0}\) więc \(\displaystyle{ \overline{b}z=-a}\)
Jeśli dwie liczby zespolone są równe to ich moduły także, więc:
\(\displaystyle{ \left| \overline{b}z \right|= \left|- a\right|}\)
Pamiętamy, że dla dowolnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| -z\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| z\right| =\left| \overline{z} \right|}\) a także, że moduł iloczynu to iloczym modułów.
Stąd
\(\displaystyle{ \left| b \right| \cdot \left| z \right|= \left| a\right|}\)
Jesteśmy na okręgu jednostkowym z \(\displaystyle{ z}\), więc \(\displaystyle{ |z|=1}\)
Czyli \(\displaystyle{ |a|=|b|}\). Sprzeczność z założeniem
Załóżmy, że spełnione są założenia i \(\displaystyle{ \overline{b}z+ a = 0}\) więc \(\displaystyle{ \overline{b}z=-a}\)
Jeśli dwie liczby zespolone są równe to ich moduły także, więc:
\(\displaystyle{ \left| \overline{b}z \right|= \left|- a\right|}\)
Pamiętamy, że dla dowolnych liczb zespolonych \(\displaystyle{ \left| z\right|=\left| -z\right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| z\right| =\left| \overline{z} \right|}\) a także, że moduł iloczynu to iloczym modułów.
Stąd
\(\displaystyle{ \left| b \right| \cdot \left| z \right|= \left| a\right|}\)
Jesteśmy na okręgu jednostkowym z \(\displaystyle{ z}\), więc \(\displaystyle{ |z|=1}\)
Czyli \(\displaystyle{ |a|=|b|}\). Sprzeczność z założeniem