Rozwiąż równanie

[figofago]

Witam.

Mam takie zadanko:

\(\displaystyle{ z^6 = ( \frac{1- \sqrt{3}i }{1-i})^{12}}\)

I tu pojawia sie pytanie: Czy mozna od razu zapisac:

\(\displaystyle{ z = ( \frac{1- \sqrt{3}i }{1-i})^{2}}\)

Czy wtedy traci sie rozwiazania?

Wyrzucilem sobie gdzies kartke ze swoim rozwiazaniem, ale z tego co pamieta wyszlo mi jedno bardzo przyzwoite rozwiazanie, w stylu 1-i

[Qń]

Istotnie jest to jedno z rozwiązań, ale przecież równanie jest stopnia szóstego, więc rozwiązań powinno być sześć. Nietrudno zauważyć, że są to:
\(\displaystyle{ z_k=\left( \frac{1-\sqrt{3}i}{1-i}\right)^2\cdot \varepsilon_k}\)
gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon_k}\), dla \(\displaystyle{ k=0,1,2,3,4,5}\) to pierwiastki szóstego stopnia z jedynki.

Q.

[erni0407]

Mam problem z podobnym przykladem, może ktoś krok po kroku wyjaśnić, bo nie za bardzo rozumiem "pierwiastki szóstego stopnia z jedynki". Przecież pierwiastek z 1, to 1

[Qń]

Nie, pierwiastków zespolonych entego stopnia z dowolnej liczby jest dokładnie \(\displaystyle{ n}\).
Na przykład pierwiastki czwartego stopnia z jedynki, czyli rozwiązania równania \(\displaystyle{ z^4=1}\) to:
\(\displaystyle{ 1,-1,i,-i}\)
Istnieje wzór na pierwiastki z jedynki dowolnego stopnia, do znalezienia chociażby na Wikipedii.

Q.