Dzielenie wielomianów i argument - kilka wątpliwości

[14f13]

Nie mogę znaleźć informacji na temat pewnych szczegółów, które dotyczą dzielenia wielomanów np w \(\displaystyle{ Z_5}\). Otóż mam wielomian, załóżmy \(\displaystyle{ 2x^3 - 3x^2 + 5x - 2}\). Mam go podzielić przez załóżmy \(\displaystyle{ x - 2}\) lub \(\displaystyle{ x + 6}\). Teraz wiem, że trzeba przerobić wyjśćiowy wielomian na \(\displaystyle{ 2x^3 + 2x^2 + 5x + 3}\). Idąc tym tropem, \(\displaystyle{ x - 2}\) musiałbym przerobić na \(\displaystyle{ x+ 3}\) lub \(\displaystyle{ x + 6}\) na \(\displaystyle{ x + 1}\) zgadza się? (proszę o potwierdzenie). I co jeśli podczas dodawania "góry i dołu" przy dzieleniu suma składników będzie większa niż 5, załóżmy, że będzie tam:
\(\displaystyle{ 3x^2 + 2x}\)
\(\displaystyle{ +4x^2 + x}\)

wtedy na dół spisuję \(\displaystyle{ 2x^2}\) (\(\displaystyle{ Z_5}\)) czy normalnie 7?

Drugi problem, mam taką nierówność:

\(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2} \le arg(3iz) \le 2\pi}\)

Argumentem wyrażenia \(\displaystyle{ 3iz}\) będzie, no właśnie... powstanie mi takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ 3ix - 3y}\), zmieniająsię literki przy realis i imaginaris, czy to ma jakieś znaczenie? Jeżeli nie to \(\displaystyle{ arg = 2\sqrt{3}}\) tak? No i jak przedstawić wtedy tą nierówność na płaszczyźnie? \(\displaystyle{ \frac{3\pi}{2} \le 2\sqrt{3} \le 2\pi}\)?

Ostatnie pytanie, mam równanie \(\displaystyle{ z^4 - iz^2 + 2}\), podstawiam za \(\displaystyle{ z^2 = w}\)
Pierwiastek z delty wynosi \(\displaystyle{ 3i}\), więc
\(\displaystyle{ w_1 = 2i, z^2 = 2i}\)
\(\displaystyle{ w_2 = - i, z^2 = -i}\)
I nie wiem jak dalej z tym ruszyć, myślałem o wstawieniu za \(\displaystyle{ z = x + iy}\), ale wtedy wychodzi mi coś takiego:
\(\displaystyle{ x^2 - y^2 + 2ixy = 2i}\)
\(\displaystyle{ 2xy = 2}\)
\(\displaystyle{ xy = 1}\)
\(\displaystyle{ x^2 = y^2}\)
\(\displaystyle{ x = y}\)

Nie bardzo widzę w tym sens... Będe wdzięczny za udzielenie wskazówek/rozwiązań dotyczących moich wątpliwośći, pozdrawiam.

[aniaa91]

w pierwszym zupełnie nie wiem o co Ci chodzi...
w drugim:

\(\displaystyle{ \frac{3 \pi}{2} \le \arg(3iz) \le 2 \pi \\ \\
\frac{3 \pi}{2} \le \arg 3i+ \arg z \le 2 \pi \\ \\
\frac{3 \pi}{2}- \frac{\pi}{2} \le \arg z \le 2 \pi - \frac{\pi}{2}}\)

\(\displaystyle{ \pi \le \arg z \le \frac{3 \pi}{2}}\)

i teraz rysujesz.

w trzecim: \(\displaystyle{ z ^{2}=2i}\) i ja bym to sobie zrobiła z postaci trygonometrycznej

\(\displaystyle{ 2 \left( \frac{3 \pi}{2} \cdot 2+i \sin \frac{3 \pi}{2} \cdot 2 \right)}\)

z tego pierwiastki wyjdą \(\displaystyle{ z_1= \sqrt{2}+ \sqrt{2}i \wedge z_{2}= -\sqrt{2}+ \sqrt{2}i}\)

i analogicznie dla \(\displaystyle{ z^{2}=-i}\). choć już nie jestem pewna czy na pewno tak...

[14f13]

Dzięki za to z tym arg, ale co do pierwiastków, wolfram podaje inne i jednak wydaje mi się jest jakiśsposób nie używając postaci trygonometrycznej. W pierwszym pytaniu chodzi mi o postać wielomianu i wyrażenia, przez, które będe dzielił, oba muszą spełniać warunki \(\displaystyle{ Z_5}\)?

[aniaa91]

naprawdę nie wiem co Ty chcesz kombinować z tymi wielomianami i jak to przerabiać wyjściowy? z dzielenia \(\displaystyle{ 2x ^{3}-3x^{2}+5x-2}\) przez \(\displaystyle{ x-2}\) wyjdzie \(\displaystyle{ 2x^{2}+x+7}\) i reszta równa 12. i co do dodawania tej góry i dołu to nie ma znaczenia czy wychodzi Ci więcej niż 5 czy nie normalnie dodajesz:) a tymi pierwiastkami będę się teraz ryła...

-- 7 lut 2011, o 11:43 --

dobra co do tych pierwiastków to po odpowiedzi dochodząc do tego jak to można zrobić no i idąc tropem Twojego rozumowania można zrobić tak:

\(\displaystyle{ z^{2}=2i}\)

to tak jak masz \(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}}\) i \(\displaystyle{ xy=1}\)
czyli z tego warunku wynika że

\(\displaystyle{ x=1 \wedge y=1 \vee x=-1 \wedge y=-1}\)

więc pierwiastki \(\displaystyle{ z_{1}=1+i \wedge z_{2}=-1-i}\)
dla \(\displaystyle{ z^{2}=-i}\)
mamy \(\displaystyle{ x^{2}=y^{2}}\) i \(\displaystyle{ 2xy=-1}\)
czyli mamy \(\displaystyle{ xy=-\frac{1}{2}}\)
zatem

\(\displaystyle{ x= \frac{1}{\sqrt{2}} \wedge y= -\frac{i}{\sqrt{2}} \vee x=- \frac{1}{\sqrt{2}} \wedge y= \frac{i}{\sqrt{2}}}\)

więc

\(\displaystyle{ z_{3}= \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{i}{\sqrt{2}} \wedge z_{4}=- \frac{1}{\sqrt{2}}+ \frac{i}{\sqrt{2}}}\)

co prawda wolfram podaje inne dla -i ale sprawdź sobie że te też pasują

[14f13]

Pewnie nie słyszałaś o dzieleniu w \(\displaystyle{ Z_5}\) więc dlatego nie wiesz o co chodzi, a więc to zostawmy Dzięki za te pierwiastki.