Rozwiązać równanie:
\(\displaystyle{ z^{3} +\left( \frac{1+i}{1-i} \right) ^{1003} =0}\)
Jeśli ktoś potrafi to rozwiązać to byłabym wdzięczna...
Równanie liczby zespolonej
-
karolcia92011708903
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 27 paź 2010, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
-
Kamil Wyrobek
- Użytkownik
- Posty: 644
- Rejestracja: 24 paź 2010, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 60 razy
Równanie liczby zespolonej
\(\displaystyle{ z=-i}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}(- \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)}\)
;>
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}(- \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}(\sqrt{3}+i)}\)
;>
-
karolcia92011708903
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 27 paź 2010, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
Równanie liczby zespolonej
hmm....jeszcze gdyby można było napisać sposób rozwiązania, to byłoby super, bo sam wynik niewiele mi daje... chciałabym jeszcze zrozumieć jak to się robi...
-
Kamil Wyrobek
- Użytkownik
- Posty: 644
- Rejestracja: 24 paź 2010, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 60 razy
Równanie liczby zespolonej
;> niech stracę ^^,
A więc xD specjalnie dla Ciebie ;P cała trudność zadania zawiera się w tym ile to jest:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{1-i} \right) ^{1003}}\)
A to jest po prostu i ^^, dlaczego? Zapiszę może sobie w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ 1+i = \sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}\)
\(\displaystyle{ 1-i = \sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\)
Skoro mamy już fajne postacie trygonometryczne to zastanówmy się...
Ooooo TAK!! Mam pomysł xD podzielmy to...
\(\displaystyle{ z^3 + \left[ \frac{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\right]^{1003} = 0}\)
No niestety... TO JEST KOSMICZNY STWÓR!! ;< zaczynamy myśleć... i myśleć... co tu zrobić...
panika w oczach... Nie no nie jest tak źle ;D
Hmmm... tu z pomocą przychodzi pan de Moivre ;> no bo przecież... który dawno dawno temu wymyślił sobie wzór, żeby uprzykrzać życie biednej studentce na PW xD
Pomyślał, że... jeżeli...
\(\displaystyle{ (a+ib)^c=\left| z\right| \left( cos \alpha + isin \alpha \right)}\)
no to przecież...
\(\displaystyle{ (a+ib)^c=\left| z\right|^c(cos(c \cdot \alpha) + isin (c \cdot \alpha )}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\right]^{1003} = \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin ( \frac{ \pi }{2} )\right)^{1003}}\)
Patrząc na to aż samemu nie można uwierzyć we własne szczęście ^^,
ale to nie koniec no bo przecież dużo tu nie zrobiliśmy...
\(\displaystyle{ \left| z\right| = 1}\) i to jest święta świętość... nie tykać xD a reszta znana ^^,
w takim razie...
\(\displaystyle{ \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin ( \frac{ \pi }{2} )\right)^{1003} = 1^{1003}( cos( 1003\cdot\frac{ \pi }{2}) + isin ( 1003 \cdot \frac{ \pi }{2} )\right)}\)
No i tu już trzeba samemu widzieć... że \(\displaystyle{ cos( \frac{ \pi }{2})}\) ZAWSZE! pomnożony przez liczbę nieparzystą będzie równy... \(\displaystyle{ 0}\) ;(
No, ale może coś z sinusa wyjdzie
\(\displaystyle{ isin(1003 \cdot \frac{ \pi }{2}) = -i}\)
Czyli...
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\right]^{1003} = \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin ( \frac{ \pi }{2} )\right)^{1003} = -i}\)
W tym momencie można sobie zadać pytanie... po jakiego .... xDDDDDD
No, ale wróćmy...
\(\displaystyle{ z^3 - i = 0}\) yyyyyyyyy... w takim razie...
\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{i}}\) wzorek na pierwiastki i jazda ^^,
Zapisujemy liczbę \(\displaystyle{ i}\) w postaci trygonometrycznej...
To będzie chyba... \(\displaystyle{ i = \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin( \frac{ \pi }{2}) \right)}\)
A pierwiastki z tego równania będą niestety tylko 3 ;D a mogłoby być 1003 xDDD
\(\displaystyle{ z_{1} = cos( \frac{ \pi }{6} ) + isin( \frac{ \pi }{6} )}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = cos( \frac{ 5\pi }{6} ) + isin( \frac{ 5\pi }{6} )}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = cos( \frac{ 9\pi }{6} ) + isin( \frac{ 9\pi }{6} )}\)
Co po przejściu na "normalne liczby" daje ...
\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{1}{2}(- \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{1}{2}(- \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = -i}\)
Zadanie skończone a teraz liczę na kawę xD
A więc xD specjalnie dla Ciebie ;P cała trudność zadania zawiera się w tym ile to jest:
\(\displaystyle{ \left( \frac{1+i}{1-i} \right) ^{1003}}\)
A to jest po prostu i ^^, dlaczego? Zapiszę może sobie w postaci trygonometrycznej:
\(\displaystyle{ 1+i = \sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}\)
\(\displaystyle{ 1-i = \sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\)
Skoro mamy już fajne postacie trygonometryczne to zastanówmy się...
Ooooo TAK!! Mam pomysł xD podzielmy to...
\(\displaystyle{ z^3 + \left[ \frac{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\right]^{1003} = 0}\)
No niestety... TO JEST KOSMICZNY STWÓR!! ;< zaczynamy myśleć... i myśleć... co tu zrobić...
panika w oczach... Nie no nie jest tak źle ;D
Hmmm... tu z pomocą przychodzi pan de Moivre ;> no bo przecież... który dawno dawno temu wymyślił sobie wzór, żeby uprzykrzać życie biednej studentce na PW xD
Pomyślał, że... jeżeli...
\(\displaystyle{ (a+ib)^c=\left| z\right| \left( cos \alpha + isin \alpha \right)}\)
no to przecież...
\(\displaystyle{ (a+ib)^c=\left| z\right|^c(cos(c \cdot \alpha) + isin (c \cdot \alpha )}\)
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\right]^{1003} = \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin ( \frac{ \pi }{2} )\right)^{1003}}\)
Patrząc na to aż samemu nie można uwierzyć we własne szczęście ^^,
ale to nie koniec no bo przecież dużo tu nie zrobiliśmy...
\(\displaystyle{ \left| z\right| = 1}\) i to jest święta świętość... nie tykać xD a reszta znana ^^,
w takim razie...
\(\displaystyle{ \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin ( \frac{ \pi }{2} )\right)^{1003} = 1^{1003}( cos( 1003\cdot\frac{ \pi }{2}) + isin ( 1003 \cdot \frac{ \pi }{2} )\right)}\)
No i tu już trzeba samemu widzieć... że \(\displaystyle{ cos( \frac{ \pi }{2})}\) ZAWSZE! pomnożony przez liczbę nieparzystą będzie równy... \(\displaystyle{ 0}\) ;(
No, ale może coś z sinusa wyjdzie
\(\displaystyle{ isin(1003 \cdot \frac{ \pi }{2}) = -i}\)
Czyli...
\(\displaystyle{ \left[ \frac{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}{\sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\right]^{1003} = \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin ( \frac{ \pi }{2} )\right)^{1003} = -i}\)
W tym momencie można sobie zadać pytanie... po jakiego .... xDDDDDD
No, ale wróćmy...
\(\displaystyle{ z^3 - i = 0}\) yyyyyyyyy... w takim razie...
\(\displaystyle{ z = \sqrt[3]{i}}\) wzorek na pierwiastki i jazda ^^,
Zapisujemy liczbę \(\displaystyle{ i}\) w postaci trygonometrycznej...
To będzie chyba... \(\displaystyle{ i = \left( cos( \frac{ \pi }{2}) + isin( \frac{ \pi }{2}) \right)}\)
A pierwiastki z tego równania będą niestety tylko 3 ;D a mogłoby być 1003 xDDD
\(\displaystyle{ z_{1} = cos( \frac{ \pi }{6} ) + isin( \frac{ \pi }{6} )}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = cos( \frac{ 5\pi }{6} ) + isin( \frac{ 5\pi }{6} )}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = cos( \frac{ 9\pi }{6} ) + isin( \frac{ 9\pi }{6} )}\)
Co po przejściu na "normalne liczby" daje ...
\(\displaystyle{ z_{1} = \frac{1}{2}(- \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ z_{2} = \frac{1}{2}(- \sqrt{3}+i)}\)
\(\displaystyle{ z_{3} = -i}\)
Zadanie skończone a teraz liczę na kawę xD
-
karolcia92011708903
- Użytkownik
- Posty: 34
- Rejestracja: 27 paź 2010, o 20:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
Równanie liczby zespolonej
\(\displaystyle{ 1+i = \sqrt{2} \left( cos (\frac{ \pi }{4} ) + isin (\frac{ \pi }{4} )\right)}\)
\(\displaystyle{ 1-i = \sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\)
A teraz mam jeszcze pytanie skąd w postaci geometrycznej bierzesz że to jest \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} a potem \frac{7 \pi }{4}}\) ?
\(\displaystyle{ 1-i = \sqrt{2} \left( cos (\frac{ 7\pi }{4} ) + isin (\frac{ 7\pi }{4} )\right)}\)
A teraz mam jeszcze pytanie skąd w postaci geometrycznej bierzesz że to jest \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{4} a potem \frac{7 \pi }{4}}\) ?
-
Kamil Wyrobek
- Użytkownik
- Posty: 644
- Rejestracja: 24 paź 2010, o 17:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 60 razy
Równanie liczby zespolonej
W pierwszej wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko \(\displaystyle{ sinus}\), w trzeciej \(\displaystyle{ tangens}\) i \(\displaystyle{ cotangens}\), a w czwartej \(\displaystyle{ cosinus}\).
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ 7\pi }{4}}\) leży w 4 ćwiartce. Otrzymujemy dodatniego cos i ujemnego sin. Co pasuje do naszej postaci trygonometrycznej ;>
Ponieważ \(\displaystyle{ \frac{ 7\pi }{4}}\) leży w 4 ćwiartce. Otrzymujemy dodatniego cos i ujemnego sin. Co pasuje do naszej postaci trygonometrycznej ;>