Oblicz wartość podanego wyrażenia.

[fauscik]

Witajcie,
Mam za zadanie obliczyć wartość podanego wyrażenia i wynik podać w postaci algebraicznej. Mógłby ktoś sprawdzić czy dobrze robię to zadanie?

\(\displaystyle{ z = {\left( \frac{1-i}{\sqrt{3} + i} \right)}^6 \cdot \sqrt{-2i}\\
z_1 = \left( 1-i\right)^6 \Rightarrow |z_1| = \sqrt{2} \\
\cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \wedge \sin \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \varphi= -\frac{ \pi }{4} \\
{z_1}^6 = 2^3 \left(\cos\left( -\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{2} \right) \right) \\
z_2 = \left(\sqrt{3} + i \right)^6 \Rightarrow |z_2| = 2 \\
{z_2}^6 = 2^6 \left(\cos\pi + i\sin\pi\right) \\
\frac{{z_1}^6}{{z_2}^6} = \frac{2^3 \left(\cos\left( -\frac{3\pi}{2}\right) + i\sin\left(-\frac{3\pi}{2} \right)}{2^6 \left(\cos\pi + i\sin\pi\right)} = -\frac{i}{8} \\
z = -\frac{1}{8}i \cdot \sqrt{-2i} = -\frac{1}{8} \cdot \sqrt{-2i \cdot i^2} = -\frac{1}{8} \sqrt{2i}}\)

[lambu22]

Przy \(\displaystyle{ z_{1}}\) kąt jest źle wyznaczony. Nie będzie to \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4}}\) , jaki kąt wyszedł Ci w \(\displaystyle{ z_{2}}\)? bo tez wydaje mi się, ze jest błąd.

[fauscik]

Przy \(\displaystyle{ z_{1}}\) kąt jest źle wyznaczony. Nie będzie to \(\displaystyle{ - \frac{\pi}{4}}\) , jaki kąt wyszedł Ci w \(\displaystyle{ z_{2}}\)? bo tez wydaje mi się, ze jest błąd.

Jesteś pewien, że przy \(\displaystyle{ z_{1}}\) kąt jest źle wyznaczony?
Natomiast przy \(\displaystyle{ z_{2}}\) kąt wyszedł mi kąt \(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{6}}\).

[lambu22]

Jesteś pewien, że przy \(\displaystyle{ z_{1}}\) kąt jest źle wyznaczony?

Tak..
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{\pi}{4}}\) Cosinus jest dodatni, zaś sinus ujemny, w której ćwiartce tak jest ? 4 ćwiartka. W czwartej ćwiartce wygląda to tak, ze \(\displaystyle{ 2\pi - \alpha}\). U nas \(\displaystyle{ \alpha = \frac{\pi}{4}}\) Tak więc kąt, który podstawisz do wzoru to: \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\)
\(\displaystyle{ z_{2}}\) się zgadza, sorry niezauwazylem, ze podstawiłeś do wzoru już 6, i skróciłeś to z ułamkiem.

[fauscik]

Czyli zadanie wygląda teraz tak:
\(\displaystyle{ z = {\left( \frac{1-i}{\sqrt{3} + i} \right)}^6 \cdot \sqrt{-2i}\\ z_1 = \left( 1-i\right)^6 \Rightarrow |z_1| = \sqrt{2} \\ \cos \varphi = \frac{\sqrt{2}}{2} \wedge \sin \varphi = -\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \varphi= \frac{ 7 \pi }{4} \\ {z_1}^6 = 2^3 \left(\cos\left( \frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} \right) \right) \\ z_2 = \left(\sqrt{3} + i \right)^6 \Rightarrow |z_2| = 2 \\ {z_2}^6 = 2^6 \left(\cos\pi + i\sin\pi\right) \\ \frac{{z_1}^6}{{z_2}^6} = \frac{2^3 \left(\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{2} \right) \right)}{2^6 \left(\cos\pi + i\sin\pi \right)\right)} = -\frac{i}{8} \\ z = -\frac{1}{8}i \cdot \sqrt{-2i} = -\frac{1}{8} \cdot \sqrt{-2i \cdot i^2} = -\frac{1}{8} \sqrt{2i}}\)

Czyli w sumie... wynik ten sam