Znaleźć rozwiązanie w dziedzinie liczb zespolonych

[politechnik]

Witam, mam problem z rozwiązaniem w dziedzinie liczb zespolonych takiego równania:
\(\displaystyle{ z ^{3} - 5z ^{2}+17z - 13 = 0}\)
Dodatkowo należy napisać równanie okręgu, o środku w \(\displaystyle{ z _{1}}\) i i promieniu \(\displaystyle{ r= z_{2}+ z_{3}}\)
Bardzo proszę o jakieś wskazówki jak to ruszyć. Jak podstawiłem za \(\displaystyle{ z = (x+ib)}\) to wyszedł totalny kosmos, wyciągałem z, ale to dawało deltę < 0

[piasek101]

To weź \(\displaystyle{ z=1}\)

[politechnik]

E coś mi się wydaje że to nie tak....

[pyzol]

Właśnie, że tak masz zacząć.
\(\displaystyle{ W(1)=1-5+17-13=0}\)
Jednym z pierwiastków jest liczba 1. Możesz teraz przedzielić wielomian przez dwumian x-1, bądź też rozłożyć tak jak ja (co na to samo wychodzi).
\(\displaystyle{ z^3-z^2-4z^2+4z+13z-13=0\\
z^2(z-1)-4z(z-1)+13(z-1)=0\\
(z-1)(z^2-4z+13)=0\\
z=1 \vee z^2-4z+13=0}\)
Rozwiązujesz równanie kwadratowe delta ujemna, no to musisz znaleźć w notatkach.
Ja to zrobię bez liczenia delty, ale jak delta wychodzi np -4, to o ile dobrze pamiętam wystarczy za pierwiastek z delty dać 2i...
\(\displaystyle{ (z-2)^2-4+13=0\\
(z-2)^2=-9\\
z-2=-3i\vee z-2=3i\\
z=2-3i\vee z=2+3i}\)
Jeśli chodzi o równanie okręgu:
\(\displaystyle{ ||z-1||=4}\)
Co znaczy odległość liczby z od liczby 1+0i, jest równa 4.

[piasek101]

E coś mi się wydaje że to nie tak....

A co Ci nie pasuje ?

[politechnik]

Rozumiem do dzielenia przez wielomian \(\displaystyle{ (x-1)}\) Co dalej się z tym dzieje. Delta wyszła -40