Znajdź pierwiastki zespolone równania:
\(\displaystyle{ z-3 \overline{z} = ( \frac{ \sqrt{3} }{2} - \frac{i}{2})^{18} +2i}\)
Znajdź pierwiastki zespolone równania
-
msx100
- Użytkownik
- Posty: 261
- Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: RP
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 51 razy
Znajdź pierwiastki zespolone równania
korzystamy ze wzoru de Moivre'a:
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})^{18} = (\cos (-\frac{\pi}{6})+i \sin (-\frac{\pi}{6}))^{18} = \cos (-\frac{\pi}{6} \cdot 18) + i\sin (-\frac{\pi}{6} \cdot 18) = -1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})^{18} +2i = -1+2i}\)
Niech \(\displaystyle{ z= x+iy}\)
\(\displaystyle{ z-3\overline{z} = x+iy -3(x-iy) = -2x +i4y}\)
aby zachodziła równość musi być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x = -1 \\ 4y = 2 \end{cases}}\) czyli \(\displaystyle{ x=y=\frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow z = \frac{1+i}{2}}\)
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})^{18} = (\cos (-\frac{\pi}{6})+i \sin (-\frac{\pi}{6}))^{18} = \cos (-\frac{\pi}{6} \cdot 18) + i\sin (-\frac{\pi}{6} \cdot 18) = -1}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})^{18} +2i = -1+2i}\)
Niech \(\displaystyle{ z= x+iy}\)
\(\displaystyle{ z-3\overline{z} = x+iy -3(x-iy) = -2x +i4y}\)
aby zachodziła równość musi być:
\(\displaystyle{ \begin{cases} -2x = -1 \\ 4y = 2 \end{cases}}\) czyli \(\displaystyle{ x=y=\frac{1}{2}}\) \(\displaystyle{ \Rightarrow z = \frac{1+i}{2}}\)