Witam!
Nie wiem jak rozwiązać taki przykład:
Zad1 Rozwiąż w liczbach zespolonych
a) \(\displaystyle{ (z-i)^{4} = (z+i)^{4}}\)
Proszę o pomoc
Liczby zespolone, rownanie
Liczby zespolone, rownanie
\(\displaystyle{ (z-i)^{4} = (z+i)^{4}}\)
\(\displaystyle{ (z-i)^4-(z+i)^4=0}\)
\(\displaystyle{ \left((z-i)^2\right)^2-\left((z+i)^2\right)^2=0}\)
teraz korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
\(\displaystyle{ \left( (z-i)^2 - (z+i)^2\right)\cdot \left( (z-i)^2 + (z+i)^2\right)=0}\)
teraz możemy podnieść do kwadratu, ewentualnie ponownie skorzystać ze wzórów skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ \left( (z^2-2zi+i^2)-(z^2+2zi+i^2)\right)\cdot \left( (z^2-2zi+i^2)+(z^2+2zi+i^2)\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( -4zi\right)\cdot \left( 2z^2-2\right)=0}\)
\(\displaystyle{ -8i \cdot z \cdot (z^2-1)=0}\)
\(\displaystyle{ -8i \cdot z \cdot (z-1)\cdot (z+1)=0}\)
mamy zatem 3 rozwiązania:
\(\displaystyle{ z=0 \ \vee z=1 \ \vee \ z=-1}\)
\(\displaystyle{ (z-i)^4-(z+i)^4=0}\)
\(\displaystyle{ \left((z-i)^2\right)^2-\left((z+i)^2\right)^2=0}\)
teraz korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
\(\displaystyle{ \left( (z-i)^2 - (z+i)^2\right)\cdot \left( (z-i)^2 + (z+i)^2\right)=0}\)
teraz możemy podnieść do kwadratu, ewentualnie ponownie skorzystać ze wzórów skróconego mnożenia
\(\displaystyle{ \left( (z^2-2zi+i^2)-(z^2+2zi+i^2)\right)\cdot \left( (z^2-2zi+i^2)+(z^2+2zi+i^2)\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( -4zi\right)\cdot \left( 2z^2-2\right)=0}\)
\(\displaystyle{ -8i \cdot z \cdot (z^2-1)=0}\)
\(\displaystyle{ -8i \cdot z \cdot (z-1)\cdot (z+1)=0}\)
mamy zatem 3 rozwiązania:
\(\displaystyle{ z=0 \ \vee z=1 \ \vee \ z=-1}\)