Obliczyc pierwiastki liczby zespolonej
-
aikon
- Użytkownik
- Posty: 450
- Rejestracja: 2 gru 2005, o 17:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 48 razy
Obliczyc pierwiastki liczby zespolonej
Najpierw musisz doprowadzić to co jest pod pierwiastkiem do postaci trygonometrycznej. Więc obliczasz moduł:
\(\displaystyle{ |-1+i| - \sqrt{(-1)^2 + i^2} = \sqrt{2}}\)
A potem wyłączasz go przed nawias:
\(\displaystyle{ -1+i = \sqrt{2}(\frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(\frac{- \sqrt{2}}{2} + \frac{ \sqrt{2}}{2} i)}\)
Następnie musisz wyznaczyć argument liczby -1+i. Zrobisz to rysując wykres na płaszczyźnie zespolonej, no ja Ci tutaj niestety go nie narysuje, ale powinieneś umieć to zrobić.
W każdym razie \(\displaystyle{ arg(-1+i) = \frac{3}{4} \pi}\).
Więc w postaci trygonometrycznej liczba wygląda tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(cos(\frac{3}{4} \pi) + isin (\frac{3}{4} \pi) )}\)
Możesz teraz skorzystać z ogólnego wzoru na pierwiastek liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ Z_k = \sqrt[n]{r} (cos(\frac{\phi +2k \pi}{n}) + isin((\frac{\phi +2k \pi}{n}) )}\)
gdzie k = 0,1... n-1
W Twoim przypadku \(\displaystyle{ r=\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \phi=\frac{3 \pi}{4}}\).
Podstawiasz cyferki za literki:
\(\displaystyle{ Z_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} (cos(\frac{\frac{3 \pi}{4} +2k \pi}{3}) + isin(\frac{\frac{3 \pi}{4} +2k \pi}{3}) )}\)
A następnie po kolei za "k" wstawiasz 0, 1, 2 i obliczasz... Nie chce mi się tutaj wszystkiego pisać, bo to żmudne, ale wystarczy popodstawiać k wyrysować pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej. Wyniki będą takie:
\(\displaystyle{ Z_0 = \sqrt[6]{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i) \\
Z_1 = \sqrt[6]{2} ( - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}) + i \sqrt[6]{2} ( \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}\)
\(\displaystyle{ Z_2=\sqrt[6]{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) ( - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}i)}\) = policzyć
\(\displaystyle{ |-1+i| - \sqrt{(-1)^2 + i^2} = \sqrt{2}}\)
A potem wyłączasz go przed nawias:
\(\displaystyle{ -1+i = \sqrt{2}(\frac{-1}{\sqrt{2}} + \frac{i}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}(\frac{- \sqrt{2}}{2} + \frac{ \sqrt{2}}{2} i)}\)
Następnie musisz wyznaczyć argument liczby -1+i. Zrobisz to rysując wykres na płaszczyźnie zespolonej, no ja Ci tutaj niestety go nie narysuje, ale powinieneś umieć to zrobić.
W każdym razie \(\displaystyle{ arg(-1+i) = \frac{3}{4} \pi}\).
Więc w postaci trygonometrycznej liczba wygląda tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(cos(\frac{3}{4} \pi) + isin (\frac{3}{4} \pi) )}\)
Możesz teraz skorzystać z ogólnego wzoru na pierwiastek liczby zespolonej:
\(\displaystyle{ Z_k = \sqrt[n]{r} (cos(\frac{\phi +2k \pi}{n}) + isin((\frac{\phi +2k \pi}{n}) )}\)
gdzie k = 0,1... n-1
W Twoim przypadku \(\displaystyle{ r=\sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \phi=\frac{3 \pi}{4}}\).
Podstawiasz cyferki za literki:
\(\displaystyle{ Z_k = \sqrt[3]{\sqrt{2}} (cos(\frac{\frac{3 \pi}{4} +2k \pi}{3}) + isin(\frac{\frac{3 \pi}{4} +2k \pi}{3}) )}\)
A następnie po kolei za "k" wstawiasz 0, 1, 2 i obliczasz... Nie chce mi się tutaj wszystkiego pisać, bo to żmudne, ale wystarczy popodstawiać k wyrysować pierwiastki na płaszczyźnie zespolonej. Wyniki będą takie:
\(\displaystyle{ Z_0 = \sqrt[6]{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} i) \\
Z_1 = \sqrt[6]{2} ( - \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4}) + i \sqrt[6]{2} ( \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})}\)
\(\displaystyle{ Z_2=\sqrt[6]{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} + i \frac{\sqrt{2}}{2}) ( - \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2}i)}\) = policzyć