Rozwiąż równanie i zaznacz na płaszczyźnie gaussa.

[thugangel]

Proszę o pomoc, nie mam pojęcia jak się do tego zabrać
Rozwiąż równanie i zaznacz na płaszczyźnie gaussa.
\(\displaystyle{ z^3+8i=0}\)

[m_opala]

To nie jest równanie bo nie napisałeś czemu \(\displaystyle{ z^{3}+8i}\) się równa. W domyśle rozumiem: \(\displaystyle{ z^{3}+8i=0}\). Wtedy przenosisz 8i na prawą stronę równania i musisz policzyć wszystkie pierwiastki 3-stopnia(a jest ich 3) z -8i. Trywialny pierwiastek wynosi \(\displaystyle{ -2 \sqrt[3]{i}}\). Pierwiastki są rozłożone równomiernie na płaszcyźnie zespolonej tzn. pierwiastki n-tego stopnia są wierzchołkami n-kąta foremnego, korzystając z tego znajdziesz pozostałe pierwiastki.

[Crizz]

Trywialny pierwiastek wynosi \(\displaystyle{ -2 \sqrt[3]{i}}\).

Jeśli się dobrze domyślam, to chodziło raczej o \(\displaystyle{ -2i}\).

thugangel, jeśli powyższa wskazówka Ci nie pomoże, to najlepiej zapoznaj się z 2524.htm, z cześcią dotyczącą pierwiastków, i skorzystaj z podanego tam wzoru.

[thugangel]

Wyznaczyłem pierwiastki, są w postaci trygonometrycznej, sprowadziłem je do postaci algebraicznej.
\(\displaystyle{ z= -\sqrt{3} +i \vee z=-2i \vee z=\sqrt{3} +i}\) Czy to rozwiązanie jest prawidłowe?

[Crizz]

Hmmm... powinno być \(\displaystyle{ \sqrt{3}-i,-\sqrt{3}-i}\). Pewnie jakaś drobna pomyłka, sprawdź obliczenia (a poprawność rozwiązania możesz przecież łatwo sprawdzić, podstawiając otrzymane pierwiastki do równania).