Obliczyć:
\(\displaystyle{ 1+ \left( 1-i \cdot \sqrt{3} \right) + \left( 1-i \cdot \sqrt{3} \right) ^2 +\ldots + \left( 1-i \cdot \sqrt{3} \right) ^11}\)
Obliczyć sumę ciągu geometrycznego z wyrazami zespolonymi
-
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 8 paź 2009, o 20:15
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
Obliczyć sumę ciągu geometrycznego z wyrazami zespolonymi
Ostatnio zmieniony 31 sty 2011, o 18:30 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Temat zdublowany.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm . Temat zdublowany.
-
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
Obliczyć sumę ciągu geometrycznego z wyrazami zespolonymi
Tak samo, jak dla rzeczywistych:
\(\displaystyle{ 1+q+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\).
Tutaj zatem suma wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1-(1-i\sqrt 3)^{12}}{1-(1-i\sqrt 3)}}\).
Do skrócenia napisu przydaje się:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt 3}{2}\right)^6=1}\)
\(\displaystyle{ |1-i\sqrt 3|=2}\)
Skąd
\(\displaystyle{ \frac{1-(1-i\sqrt 3)^{12}}{1-(1-i\sqrt 3)}=\frac{1-2^{12}}{i\sqrt 3}=i\cdot \frac{(2^{12}-1)\sqrt 3}{3}}\)
\(\displaystyle{ 1+q+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\).
Tutaj zatem suma wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{1-(1-i\sqrt 3)^{12}}{1-(1-i\sqrt 3)}}\).
Do skrócenia napisu przydaje się:
\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt 3}{2}\right)^6=1}\)
\(\displaystyle{ |1-i\sqrt 3|=2}\)
Skąd
\(\displaystyle{ \frac{1-(1-i\sqrt 3)^{12}}{1-(1-i\sqrt 3)}=\frac{1-2^{12}}{i\sqrt 3}=i\cdot \frac{(2^{12}-1)\sqrt 3}{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Obliczyć sumę ciągu geometrycznego z wyrazami zespolonymi
Stąd, że \(\displaystyle{ \frac{1-i\sqrt 3}{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)^6=\cos\left(-6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)}\) na mocy wzoru de Moivre'a.
\(\displaystyle{ \left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)^6=\cos\left(-6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)}\) na mocy wzoru de Moivre'a.