Obliczyć sumę ciągu geometrycznego z wyrazami zespolonymi

[dominiq90]

Obliczyć:
\(\displaystyle{ 1+ \left( 1-i \cdot \sqrt{3} \right) + \left( 1-i \cdot \sqrt{3} \right) ^2 +\ldots + \left( 1-i \cdot \sqrt{3} \right) ^11}\)

[xiikzodz]

Tak samo, jak dla rzeczywistych:

\(\displaystyle{ 1+q+\ldots+q^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}}\).

Tutaj zatem suma wynosi:

\(\displaystyle{ \frac{1-(1-i\sqrt 3)^{12}}{1-(1-i\sqrt 3)}}\).

Do skrócenia napisu przydaje się:

\(\displaystyle{ \left(\frac{1-i\sqrt 3}{2}\right)^6=1}\)

\(\displaystyle{ |1-i\sqrt 3|=2}\)

Skąd

\(\displaystyle{ \frac{1-(1-i\sqrt 3)^{12}}{1-(1-i\sqrt 3)}=\frac{1-2^{12}}{i\sqrt 3}=i\cdot \frac{(2^{12}-1)\sqrt 3}{3}}\)

[dominiq90]

Skąd się bierze ten skrócony zapis??

[Crizz]

Stąd, że \(\displaystyle{ \frac{1-i\sqrt 3}{2}=\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos\frac{\pi}{3}-i\sin\frac{\pi}{3}=\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{ \left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)^6=\cos\left(-6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(-6 \cdot \frac{\pi}{3}\right)}\) na mocy wzoru de Moivre'a.