Równanie 3 stopnia

R1990 · Post autor: **R1990** » 30 sty 2011, o 14:16

Rownanie 3-go stopnia o wspolczynnikach rzeczywistych, ktore w dziedzinie zespolone ma pierwiastki \(\displaystyle{ 1+i , 2}\) , jest rownania....?
Czy to trzeba zrobic tak, ze liczbe \(\displaystyle{ 1+i}\) zamieniamy na trygonometryczna i odczytujemy podstawowy kąt a pózniej \(\displaystyle{ z_1}\) i \(\displaystyle{ z_2}\) beda miec ten sam odpowiednio przesuniety \(\displaystyle{ \frac{2}{3}\pi}\) i \(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi}\)?

islabonita · Post autor: **islabonita** » 31 sty 2011, o 00:42

To dziwne, że jak zamieniam te 2 dane pierwiastki na postaci trygonometryczne to wychodzi, że mają inny moduł. Myślałam, że wszystkie pierwiastki leżą na okręgu o tym samym promieniu, więc moduły w ich postaciach trygonometrycznych są równe. Mógłby to ktoś wyjaśnić i napisać jak dalej rozwiązać to zadanie?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 31 sty 2011, o 11:44

Moduły byłyby równe, gdybyśmy mieli równanie postaci \(\displaystyle{ x^{n}=p}\).

W tym zadaniu wystarczy skorzystać z następującego faktu: jeśli pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach rzeczywistych jest liczba \(\displaystyle{ z}\), to pierwiastkiem tego wielomianu jest również liczba \(\displaystyle{ \overline{z}}\). Stąd natychmiast wynika trzeci pierwiastek równania.

R1990 · Post autor: **R1990** » 31 sty 2011, o 18:13

A jak mamy podany tylko jeden pierwiastek? To jak liczyc dwa pozostale?

Crizz · Post autor: **Crizz** » 31 sty 2011, o 19:46

To wtedy mamy za mało danych do rozwiązania zadania.

R1990 · Post autor: **R1990** » 31 sty 2011, o 21:53

Dziwne, ja mialem podany jeden pierwiastek z liczny zespolone 3 stopnia i mialem wszystkie inne wyznaczyc

Crizz · Post autor: **Crizz** » 31 sty 2011, o 23:58

Niewykluczone. Co nijak ma się do powyższego zadania.