Rozwiązać równanie
-
juyinkaaa91
- Użytkownik
- Posty: 117
- Rejestracja: 21 sty 2011, o 15:57
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 26 razy
Rozwiązać równanie
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z ^{2}|z| ^{2}-8i\overline{z}=0}\) o niewiadomej \(\displaystyle{ z \in \mathbb{C}}\)
-
sebnorth
- Użytkownik
- Posty: 635
- Rejestracja: 12 sty 2011, o 16:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Puck i Trójmiasto
- Pomógł: 201 razy
Rozwiązać równanie
Zauważmy, że liczba\(\displaystyle{ z=0}\) spełnia to równanie. Załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ z \neq 0.}\) Wówczas \(\displaystyle{ |z| \neq 0}\). Pomnóżmy obie strony przez $z$. Otrzymujemy:
\(\displaystyle{ z^{3} |z| ^{2}-8i\overline{z}z=0.}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ \overline{z}z = |z|^{2}}\). Zatem:
\(\displaystyle{ z^{3} |z| ^{2}-8i\ \cdot |z|^{2}=0. | : |z|^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{3} - 8i = 0}\)
Dane równanie sprowadza się do prostego równania \(\displaystyle{ z^{3} = 8i}\). Z tego równania znajdujemy pierwiastki ze wzoru na pierwiastki. Razem z rozwiązaniem \(\displaystyle{ z=0}\) otrzymamy \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania.
\(\displaystyle{ z^{3} |z| ^{2}-8i\overline{z}z=0.}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ \overline{z}z = |z|^{2}}\). Zatem:
\(\displaystyle{ z^{3} |z| ^{2}-8i\ \cdot |z|^{2}=0. | : |z|^{2}}\)
\(\displaystyle{ z^{3} - 8i = 0}\)
Dane równanie sprowadza się do prostego równania \(\displaystyle{ z^{3} = 8i}\). Z tego równania znajdujemy pierwiastki ze wzoru na pierwiastki. Razem z rozwiązaniem \(\displaystyle{ z=0}\) otrzymamy \(\displaystyle{ 4}\) rozwiązania.