argument z ujemnego sprzężenia

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Protex18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 27 paź 2009, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: Protex18 »

\(\displaystyle{ arg(-\vec{z}) \ge \frac{ \pi }{2}}\)

Nie bardzo wiem jak się za to zabrać
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: Althorion »

Zacznij od zapisania liczby zespolonej w postaci algebraicznej. Potem policz liczbę przeciwną do jej sprzężenia, na koniec znajdź jej argument.
Protex18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 27 paź 2009, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: Protex18 »

\(\displaystyle{ z=x+yi, to - \vec{z}= -x+yi}\)
Ale co mi to daje?
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: Althorion »

\(\displaystyle{ \text{arg}(z) = \arctan \frac{\Im z}{\Re z}}\),
czyli w Twoim przypadku:
\(\displaystyle{ \text{arg}(-x + iy) = \arctan \frac{y}{-x}}\)
I teraz wracamy do pierwotnej nierówności:
\(\displaystyle{ \arctan \frac{y}{-x} \ge \frac{\pi}{2}}\)
a dalej już łatwo.
Protex18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 27 paź 2009, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: Protex18 »

\(\displaystyle{ \frac{y}{-x} \ge tg\left( \frac{ \pi }{2} \right)}\)
I co z tym dalej zrobić bo tg wychodzi przecież nieskończoność.
Ja nie mam żadnych wartości które mógłbym podstawić pod x czy y, także sądzę że nie tędy droga.
Awatar użytkownika
Althorion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4541
Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 662 razy

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: Althorion »

Tędy, tędy. Po prostu takie liczby nie istnieją.
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: xiikzodz »

Althotion, przecież funkcja \(\displaystyle{ z\mapsto-\overline z}\) jest bijekcją, czyli w jej obrazie są wszystkie liczby zespolone o wszystkich możliwych argumentach.

Rozumiem, że chodzi o argument główny.

Najprościej geometrycznie. Odwzorowanie \(\displaystyle{ z\mapsto-\overline z}\) to symetria względem osi urojonej. Wystarczy więc odbić zbiór \(\displaystyle{ \left\{z:\mbox{Arg } z<\frac\pi 2\right\}}\) względem osi urojonej i rozwiązaniem są wszystkie liczby zespolone spoza tego odbitego obszaru.

Jeśli ktoś woli na symbolach, to można tak. Niech

\(\displaystyle{ z=r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}\).

Mamy

\(\displaystyle{ -\overline{z}=r(-\cos\varphi+i\sin\varphi)=r(\cos(\pi-\varphi)+i\sin(\pi-\varphi))}\).

Skąd

\(\displaystyle{ \mbox{arg}(-\overline{z})=\pi-\arg(z)}\).

Teraz już łatwo, wystarczy sprawdzić, której definicji argumentu głównego używasz. Jeśli np. jest to liczba z przedziału \(\displaystyle{ [0,2pi)}\), to rozwiązaniem są wszystkie niezerowe liczby zespolone leżące poza wnętrzem drugiej ćwiartki.
Protex18
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 27 paź 2009, o 17:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 1 raz

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: Protex18 »

\(\displaystyle{ arg(z) \le \frac{ \pi }{2}}\)
A czy to nie powinno oznaczać zaznaczoną tylko pierwszą ćwiartkę? Czy też bierzemy wtedy przedział \(\displaystyle{ (- \pi , \pi )}\)
xiikzodz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lost Hope
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 502 razy

argument z ujemnego sprzężenia

Post autor: xiikzodz »

Nie wiem, jakiej definicji argumentu głównego używasz. Niektórzy lubią, żeby argument byl liczbą z przedziału \(\displaystyle{ (-\pi,\pi]}\). W tym przpadku zbiór \(\displaystyle{ \left\{\mbox{Arg }z< \frac\pi 2\right\}}\) to suma wnętrz ćwiartek I,III,IV. Wobec tego rozwiązaniem jest domknięta I ćwiartka bez zera.
ODPOWIEDZ