wartość pierwiastka

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
Salomon777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 168
Rejestracja: 30 lis 2010, o 12:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nigeria
Podziękował: 15 razy

wartość pierwiastka

Post autor: Salomon777 »

znaleźć wartości pierwiastka \(\displaystyle{ \sqrt[3]{1-i}}\)

Rozwiązanie \(\displaystyle{ z= \sqrt{1+1} = \sqrt{2}}\)

\(\displaystyle{ argz= \frac{y}{x} = \frac{-1}{1} =-1}\)

\(\displaystyle{ \alpha =- \frac{ \pi }{4}}\)

\(\displaystyle{ z= \sqrt{2} (cos \frac{- \pi }{4} +isin \frac{- \pi }{4})}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{z}=\left\{ \sqrt[4]{2} \left[ cos\left( \frac{- \pi }{8}+ \frac{ \pi }{4}k \right)+isin\left( \frac{- \pi }{8} + \frac{ \pi }{4}k \right) \right]k=0;1\right\}}\)

To jes prawidłowe rozwiązanie ?
lambu22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 30 lis 2010, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: POLSKA
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 8 razy

wartość pierwiastka

Post autor: lambu22 »

Wydaje mi się, ze jest błąd.

Moduł jest równy: \(\displaystyle{ | \sqrt{2}|}\)
\(\displaystyle{ cos\phi= \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ isin\phi= -\frac{1}{\sqrt{2}}= -\frac{\sqrt{2}}
{2}}}\)


Czyli \(\displaystyle{ \alfa = \frac{\pi}{4}}\).
W czwartej cwiartce cosinus jest dodatni, zaś sinus ujemny, mamy więc : \(\displaystyle{ 2\pi - \frac{\pi}{4}= \frac{7\pi}{4}}\)
Awatar użytkownika
Salomon777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 168
Rejestracja: 30 lis 2010, o 12:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nigeria
Podziękował: 15 razy

wartość pierwiastka

Post autor: Salomon777 »

lambu22 pisze:Wydaje mi się, ze jest błąd.

Moduł jest równy: \(\displaystyle{ | \sqrt{2}|}\)
\(\displaystyle{ cos\phi= \frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ isin\phi= -\frac{1}{\sqrt{2}}= -\frac{\sqrt{2}}
{2}}}\)


Czyli \(\displaystyle{ \alfa = \frac{\pi}{4}}\).
W czwartej cwiartce cosinus jest dodatni, zaś sinus ujemny, mamy więc : \(\displaystyle{ 2\pi - \frac{\pi}{4}= \frac{7\pi}{4}}\)
Możno podrobniej jak ustalić ten kąt gdy mamy sinus i kosinus ?
lambu22
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 170
Rejestracja: 30 lis 2010, o 23:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: POLSKA
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 8 razy

wartość pierwiastka

Post autor: lambu22 »

Mamy obliczony cos i isin, tak?
Sprawdzamy ćwiartkę w której cosinus jest dodatni, zaś sinus ujemny.
Wychodzi, ze jest to ćwiartka czwarta, stosujemy wzór \(\displaystyle{ 2\pi - \alpha}\), w tym przypadku \(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\), więc kąt jest równy \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\)
Awatar użytkownika
Salomon777
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 168
Rejestracja: 30 lis 2010, o 12:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nigeria
Podziękował: 15 razy

wartość pierwiastka

Post autor: Salomon777 »

lambu22 pisze:Mamy obliczony cos i isin, tak?
Sprawdzamy ćwiartkę w której cosinus jest dodatni, zaś sinus ujemny.
Wychodzi, ze jest to ćwiartka czwarta, stosujemy wzór \(\displaystyle{ 2\pi - \alpha}\), w tym przypadku \(\displaystyle{ \alpha= \frac{\pi}{4}}\), więc kąt jest równy \(\displaystyle{ \frac{7\pi}{4}}\)
Dzięki
ODPOWIEDZ