Argument główny i postać trygonometryczna

[Marys91]

Witam,
proszę o pomoc i powiedzieć mi w jaki sposób wyznacza się argument główny? Np. jak obliczyć argument główny gdy:
\(\displaystyle{ sin \alpha=- \frac{ \sqrt{3} }{2}}\) oraz \(\displaystyle{ cos \alpha=- \frac{ {1} }{2}}\)

Jak przedstawić liczbę zespoloną \(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+i )^{13}}\) w postaci trygonometrycznej?

To od razu napiszę - co zrobić, gdy kąty są powyżej 90 stopni? co zrobić gdy np.
\(\displaystyle{ cos \alpha=\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ sin \alpha=\frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
wtedy \(\displaystyle{ \alpha=60}\) i \(\displaystyle{ \alpha=30}\) i jak to ma się do postaci trygonometrycznej?

[Hebo]

Podam gotowca, bo domyślam się, że egzamin się zbliża, mam jednak nadzieję, że nigdzie się nie walnąłem zważając na godzinę xD.

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+i )^{13}}\)

1. Obliczasz moduł (mówię o wyrażeniu w nawiasie), w tym wypadku będzie \(\displaystyle{ \left|z\right|=2}\)

2. Liczysz funkcje trygonometryczne:

\(\displaystyle{ \cos\varphi= \frac{ \sqrt{3} }{2} \ \sin\varphi= \frac{1}{2}}\)

3. Żeby obliczyć argument główny musisz wiedzieć jaki znak ma dana funkcja w każdej ćwiartce. W tym przykładzie obie masz dodatnie więc na pewno mamy pierwszą ćwiartkę. A więc \(\displaystyle{ \arg z= \frac{\pi}{6}}\), ponieważ krótko mówiąc dla takiego kąta te funkcje przyjmują takie wartości

4. Teraz korzystamy ze wzoru Moivre' a \(\displaystyle{ z^{13}=2^{13}\left(\cos\left(13 \cdot \frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(13 \cdot \frac{\pi}{6}\right)\right)}\)

5. Teraz należy zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{13\pi}{6}=2\pi+ \frac{\pi}{6}}\). A jak wiemy \(\displaystyle{ 2\pi}\) jest okresem tych funkcji a więc go pomijamy ostatecznie otrzymując:

\(\displaystyle{ ( \sqrt{3}+i )^{13}=2^{13}\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin \frac{\pi}{6}\right)}\)

Pozdrawiam.