Pierwiastki liczby zespolonej.

[DBoniem]

Niech \(\displaystyle{ \lbrace w _{1},...,w_{n} \rbrace}\) będą pierwiastkami n-tego stopnia z liczby zespolonej z:
a)Pokaż, że \(\displaystyle{ \lbrace \overline{w _{1}},...,\overline{w_{n}} \rbrace}\) są pierwiastkami n-tego stopnia z z liczby \(\displaystyle{ \overline{z}}\)
b)tę własność zilustruj na przykładzie n=3 i liczby z=i

czy część b) zadania należy rozwiązać wykorzystując wzór \(\displaystyle{ W_{k}= \sqrt[n]{|z|}*(cos \frac{ \beta +2k \pi }{n} + i*sin \frac{ \beta +2k \pi}{n} )}\), gdzie \(\displaystyle{ k=0,1,...,n-1.}\)
a w przypadku zadania n=3, k=0,1,2.
należy rozwiązać \(\displaystyle{ W_{0},W_{1},W_{2}}\).

a)wiem, że jeśli liczba\(\displaystyle{ w_{1}}\) jest pierwiastkiem liczby zespolonej, to również jej sprzężenie czyli \(\displaystyle{ \overline{w_{1}}}\) jest pierwiastkiem. Tylko w jaki sposób uogólnić to do rozwiązania przykładu a

[pipol]

a) Oznaczmy, \(\displaystyle{ P(t)=t^n -z}\), \(\displaystyle{ Q(t)=t^n -\overline{z}.}\)
Pierwiastki \(\displaystyle{ n-}\)tego stopnia z liczby \(\displaystyle{ z}\) są to po prostu wszystkie zespolone rozwiązania równania \(\displaystyle{ P(t)=0.}\)
Ale \(\displaystyle{ Q(\overline{w_i } ) =\left(\overline{w_i }\right)^n -\overline{z} =\overline{w_i^n -z} =\overline{P(w_i )} =\overline{0} =0.}\)

[DBoniem]

Jaki jest związek między pierwiastkami n-tego stopnia z liczb zespolonych z oraz iz ?
wiem, że:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z}=\lbrace z_{0}, z_{1}, z_{2},..., z_{n-1} \rbrace}\)
a co z pierwiastkami liczby zespolonej iz?