Liczba zespolona z spełniająca równanie

[DBoniem]

Znajdź jakąś liczbę zespoloną z, spełniającą równanie \(\displaystyle{ 2z^{3} =-(-1-i)^{2}}\).Wynik przedstaw w postaci algebraicznej i zaznacz na płaszczyźnie odpowiadający mu punkt.

\(\displaystyle{ 2z^{3} =-(-1-i)^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2z^{3} =-(1-2i+i^{2})}\)
\(\displaystyle{ 2z^{3} =-(i-2i-1)}\)
\(\displaystyle{ 2z^{3} =2i}\)
\(\displaystyle{ z^{3}=i}\)
\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{i}}\)

Liczbą zespoloną z spełniającą równanie może być: \(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{i}}\) inaczej zapisując (postać algebraiczna):
\(\displaystyle{ z=0+ \sqrt[3]{i}}\)

Na płaszczyźnie będzie to punkt z o współrzędnych \(\displaystyle{ (0, \sqrt{3})}\)

dobrze?

[Crizz]

] inaczej zapisując (postać algebraiczna):
\(\displaystyle{ z=0+ \sqrt[3]{i}}\)

To nie jest postać algebraiczna. Postać algebraiczna to \(\displaystyle{ z=a+bi}\)

\(\displaystyle{ z= \sqrt[3]{i}}\)
(...)
\(\displaystyle{ (0, \sqrt{3})}\)
dobrze?

Oczywiście, że źle, czy \(\displaystyle{ \left(0+i\sqrt{3}\right)^{3}=i}\)?

Skorzystaj ze wzoru na pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej.

[DBoniem]

więc co tutaj należy zrobić? czy można tak zrobić:|
\(\displaystyle{ z^{3} =i}\)
\(\displaystyle{ z=-i}\) więc jest to jedna z możliwości rozwiązania równania.
w układzie współrzędnych byłby to punkt o współrzędnych (0,-1)
jak rowiązać pozostałe 2 pierwiastki równania?

[mkacz]

Ale przecież jest wzór de Movire'a na pierwiastki liczby zespolonej.

[Crizz]

Jak już masz jeden z pierwiastków n-tego stopnia z liczby \(\displaystyle{ z}\), to pozostałe pierwiastki możesz otrzymać, obracając \(\displaystyle{ n-1}\) razy liczbę \(\displaystyle{ z}\) o kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\) (czyli inaczej - mnożąc liczbę \(\displaystyle{ z}\) przez \(\displaystyle{ \cos\frac{2\pi}{n}+i\sin\frac{2\pi}{n}}\)).

W tym wypadku pomnóż \(\displaystyle{ i}\) przez \(\displaystyle{ \cos\frac{2}{3}\pi+i\sin\frac{2}{3}\pi}\) (dwa razy).