Równanie zespolone

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
V3n0m
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 4 paź 2010, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie zespolone

Post autor: V3n0m »

\(\displaystyle{ z^6=(1+3i) ^{12}}\)

Proszę o pomoc z tym równaniem. Próbuję przekształcić na postać trygonometryczną ale coś nie wychodzi..
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Równanie zespolone

Post autor: Dasio11 »

\(\displaystyle{ z_k=(1+3 \mbox{i})^2 \cdot \varepsilon^k}\), gdzie \(\displaystyle{ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon=\cos \frac{2 \pi}{6} + \mbox{i} \sin \frac{2 \pi}{6}}\).
V3n0m
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 4 paź 2010, o 15:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 1 raz

Równanie zespolone

Post autor: V3n0m »

Jak zostały wyliczone te kąty ?
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Równanie zespolone

Post autor: Dasio11 »

\(\displaystyle{ \varepsilon = \cos \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin \frac{2 \pi}{n}}\) to wzór na jeden z pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki. Opiera się on na obserwacji, że zgodnie ze wzorem de Moivre'a

\(\displaystyle{ \varepsilon^n = \left( \cos \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin \frac{2 \pi}{n} \right)^n \stackrel{[M]}{=} \cos n \cdot \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin n \cdot \frac{2 \pi}{n} = \cos 2 \pi + \mbox{i} \sin 2 \pi = 1.}\)
ODPOWIEDZ