\(\displaystyle{ z^6=(1+3i) ^{12}}\)
Proszę o pomoc z tym równaniem. Próbuję przekształcić na postać trygonometryczną ale coś nie wychodzi..
Równanie zespolone
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Równanie zespolone
\(\displaystyle{ z_k=(1+3 \mbox{i})^2 \cdot \varepsilon^k}\), gdzie \(\displaystyle{ k = 0, 1, 2, 3, 4, 5}\) i \(\displaystyle{ \varepsilon=\cos \frac{2 \pi}{6} + \mbox{i} \sin \frac{2 \pi}{6}}\).
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10225
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Równanie zespolone
\(\displaystyle{ \varepsilon = \cos \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin \frac{2 \pi}{n}}\) to wzór na jeden z pierwiastków \(\displaystyle{ n}\)-tego stopnia z jedynki. Opiera się on na obserwacji, że zgodnie ze wzorem de Moivre'a
\(\displaystyle{ \varepsilon^n = \left( \cos \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin \frac{2 \pi}{n} \right)^n \stackrel{[M]}{=} \cos n \cdot \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin n \cdot \frac{2 \pi}{n} = \cos 2 \pi + \mbox{i} \sin 2 \pi = 1.}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon^n = \left( \cos \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin \frac{2 \pi}{n} \right)^n \stackrel{[M]}{=} \cos n \cdot \frac{2 \pi}{n} + \mbox{i} \sin n \cdot \frac{2 \pi}{n} = \cos 2 \pi + \mbox{i} \sin 2 \pi = 1.}\)