Potęgi i pierwiastki z liczb zespolonych

[Shakko]

1. Oblicz \(\displaystyle{ ( \sqrt{3} + i) ^{30}}\)

2. Oblicz pierwiastki \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2 - 2i}}\)

By było miło, jakby ktoś był w stanie wytłumaczyć mi w jaki sposób robi się zadania tego typu.

[epicka_nemesis]

1)
\(\displaystyle{ |z|=\sqrt{(\sqrt{3})^{2}+1^{2}}=2}\)
potem
\(\displaystyle{ cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \varphi =\frac{1}{2}}\)
obliczasz jaka jest wartość kąta i dalej:
\(\displaystyle{ |z|^{n}(cosn \varphi+isinn \varphi)}\)

[silvaran]

Wzór de Moivre'a.

[Shakko]

Ok, dzięki za wskazówki.

Wyszły z tego dwa kąty po 30.

Po podstawieniu
\(\displaystyle{ |2|^{30}(cos30 \cdot 30 \varphi+isin30 \cdot 30 \varphi}\))

wyszło mi \(\displaystyle{ sin 900^\circ}\) (1) oraz \(\displaystyle{ cos 900^\circ}\) (0) czyli \(\displaystyle{ 2^{30}}\)

---------

Co do zadania drugiego staje w momencie kiedy wylicze już sobie:
\(\displaystyle{ |z| = \sqrt{8}}\) czyli \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi = \sqrt{2}\\
sin \varphi = \sqrt{2}}\)

Ktoś mógłby pomóc popchnąć to dalej?

[wampirzyca]

Witam,
Czy mógłby ktoś wyjaśnić w powyższych zadaniach z jakiego wzoru liczymy \(\displaystyle{ \varphi}\) i skąd bierzemy następnie jego wartości? Wszystko rozumiem w tych przykładach, ale trygonometria zawsze była dla mnie czarną magią...-- 24 sty 2011, o 15:31 --

Co do zadania drugiego staje w momencie kiedy wylicze już sobie:
|z| = \(\displaystyle{ \sqrt{8}}\) czyli \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ cos \varphi}\) =\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ sin \varphi}\) =\(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)

Ktoś mógłby pomóc popchnąć to dalej?

Głowy nie dam sobie uciąć, bo też dopiero próbuję ten materiał ogarnąć, ale wzięłabym to z wzoru:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]|z| * (cos \frac{\varphi + 2k \pi }{n} + isin \frac{\varphi + 2k \pi }{n})}\)

I za k podstawisz dowolne trzy liczby (z tego co wiem najczęściej się stawia 0,1,2).

Jeśli coś źle tłumaczę - proszę o sprostowanie I proszę też o odpowiedź na moje wcześniejsze pytanie