Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Awatar użytkownika
josep6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 21 sty 2010, o 22:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 28 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: josep6 »

Witam, proszę o pomoc z wyprowadzeniem dowodów do poniższych twierdzeń. Miałem ich 9, ale z tymi czterema nie mogę sobie poradzić. Domyślam się, że należy to rozpisać w postaci z=x+iy, ale nie wiem co dalej można z tym zrobić.

1) \(\displaystyle{ \overline{( \frac{z_{1}}{z_{2}} )} = \frac{\overline{z_{1}}}{\overline{z_{2}}}, gdzie z_{2} \neq 0}\)

2) \(\displaystyle{ |z_{1}+z_{2}| \le |z_{1}|+|z_{2}|}\)

3) \(\displaystyle{ |z_{1}z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|}\)

4) \(\displaystyle{ | \frac{z_{1}}{z_{2}} |= \frac{|z_{1}|}{|z_{2}|} , gdzie z_{2} \neq 0}\)
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: Inkwizytor »

1)
\(\displaystyle{ z_1= a+bi \\
z_2=c+di \\
L = \overline{( \frac{a+bi}{c+di} )}=\overline{ \left( \frac{(a+bi) \cdot (c-di)}{(c+di) \cdot (c-di)} \right)}= \overline{ \left( \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{(c^2+d^2)} \right)}=
\overline{ \left( \frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{bc-ad}{c^2+d^2}i \right)}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2} + \frac{ad-bc}{c^2+d^2}i}\)

Prawa strona analogicznie i musi wyjść to samo
Awatar użytkownika
josep6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 21 sty 2010, o 22:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 28 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: josep6 »

Dzięki, ale mi wystarczy sprowadzenie tylko tej lewej strony do prawej pomoże ktoś z pozostałymi?
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: Inkwizytor »

josep6 pisze:Dzięki, ale mi wystarczy sprowadzenie tylko tej lewej strony do prawej
Przecież to to samo Tylko czasem łatwiej przekształcić lewą i prawa tak by "spotkały się" w połowie drogi

3) analogicznie jak 1)

\(\displaystyle{ L= |z_1z_2|=|(ac-bd)+(bc+ad)i|= \sqrt{(ac-bd)^2+(bc+ad)^2} = ...\\
P= \sqrt{a^2+b^2} \cdot \sqrt{c^2+d^2} = ...}\)


-- 9 sty 2011, o 18:46 --

a swoją drogą 3) i 4) można bardzo łatwo wykazać wzorami na iloczyn i iloraz dla postaci trygonometrycznej
Lbubsazob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4672
Rejestracja: 17 maja 2009, o 13:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 124 razy
Pomógł: 978 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: Lbubsazob »

2) Można indukcyjnie (przynajmniej tak robiliśmy na ćwiczeniach z algebry).
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: Inkwizytor »

2)
Ponieważ \(\displaystyle{ |z_{1}+z_{2}| , \ \ |z_{1}| , \ \ |z_{2}| \ge 0}\) to
\(\displaystyle{ |z_{1}+z_{2}| \le |z_{1}|+|z_{2}| \Leftrightarrow |z_{1}+z_{2}|^2 \le (|z_{1}|+|z_{2}|)^2}\)
Korzystamy teraz z:
\(\displaystyle{ |w|^2=w \cdot \overline{w}}\)
tometomek91
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2959
Rejestracja: 8 sie 2009, o 23:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 281 razy
Pomógł: 498 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: tometomek91 »

2) armata: nierówność Minkowskiego, dowód z C-S
Awatar użytkownika
josep6
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 160
Rejestracja: 21 sty 2010, o 22:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 28 razy

Własności sprzężenia i modułu - wyprowadzenie dowodów

Post autor: josep6 »

Dzięki za odpowiedzi sorry że tak późno
ODPOWIEDZ