Potęgowanie liczb zespolonych

[pietrek41]

Mam problem z takim zadaniem

\(\displaystyle{ \left(\frac{1+i3 \sqrt{3} }{ \sqrt{3}+2i }\right)^{20}}\)

Pomoże ktoś rozwiązać? Bez ułamka umie potęgować ale nie wiem jak sie do tego zabrać

[M Ciesielski]

Gdzie ma ta potęga być? się tyczy tylko \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)?

[pietrek41]

Dotyczy całego wyrażenia trzeba obliczyć to wyrażenie to potęgi 20

[M Ciesielski]

No to najpierw musisz wykonać to dzielenie - pomnóż licznik i mianownik przez sprzężenie mianownika (żeby pozbyć się \(\displaystyle{ i}\)) i zapisz normalnie w postaci \(\displaystyle{ a+bi}\). Pokaż jak liczysz to pojedziemy dalej.

Co to jest sprzężenie to chyba wiesz? Liczba zespolona sprzężona z liczbą \(\displaystyle{ z=a+bi}\) to liczba \(\displaystyle{ \overline{z}=a-bi}\).

[pietrek41]

Ok wiem co to sprzężenie dzięki

-- 6 sty 2011, o 21:11 --

Pomnożyłem przez sprzężenie i wyszło mi coś takiego

\(\displaystyle{ \frac{7i+7 \sqrt{3} }{7}}\)

i po skróceniu zostaje \(\displaystyle{ i+ \sqrt{3}}\)
-- 6 sty 2011, o 21:40 --

Dobrze to zrobiłem ?

[Dasio11]

Owszem.