postać trygonometryczna l. zespolonej

[kalik]

Przedstawić w postaci trygonometrycznej liczby zespolone:
a) \(\displaystyle{ \sqrt{6}+\sqrt{2}+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})}\) konkretnie chodzi mi o znalezienie kąta w oparciu o sin i cos
b) \(\displaystyle{ 1+itg\alpha}\) \(\displaystyle{ (0\leq \alpha < \frac{\pi }{2})}\)

[irena_1]

a)
\(\displaystyle{ r^2=(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2+(\sqrt{6}-\sqrt{2})^2=6+2+4\sqrt{3}+6+2-4\sqrt{3}=16\\r=4\\\sqrt{6}+\sqrt{2}+i(\sqrt{6}-\sqrt{2})=4(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}+i\cdot\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4})=4(sin75^0+i\ cos75^0)=4(sin(\frac{5}{12}\pi)+i\ cos(\frac{5}{12}\pi))}\)

\(\displaystyle{ sin75^0=sin(45^0+30^0)=sin45^0\ cos30^0+sin30^0\ cos45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\\cos75^0=cos(45^0+30^0)=cos45^0\ cos30^0-sin45^0\ sin30^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}\)-- 29 gru 2010, o 10:42 --b)
\(\displaystyle{ r^2=1+tg^2\alpha=1+\fra{sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{cos^2\alpha+sin^2\alpha}{cos^2\alpha}=\frac{1}{cos^2\alpha}\\r=\frac{1}{cos\alpha}}\)

\(\displaystyle{ 1+i\ tg\alpha=\frac{1}{cos\alpha}(cos\alpha+i\cdot\frac{sin\alpha}{cos\alpha}\cdot\ cos\alpha)=\frac{1}{cos\alpha}(cos\alpha+i\ sin\alpha)=\\=\frac{1}{cos\alpha}(sin(\frac{\pi}{2}-\alpha)+i\ cos(\frac{\pi}{2}-\alpha))}\)

[kalik]

wielkie dzięki -- 29 gru 2010, o 10:48 --Skąd wiedziałaś że trzeba rozpisać sin i cos 75, bo zrobilaś to jakby od tyłu, zgadłaś ze to kąt 75 rozpisałaś i sie zgadza?????

[irena_1]

Akurat pamiętałam, że sinus i cosinus 75 tyle mniej więcej wynoszą, bo kiedyś to obliczała. Sprawdziłam i zgadzało się.

[Dasio11]

Można też zauważyć, że \(\displaystyle{ \sin \varphi \cos \varphi = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} = \frac{1}{4}}\), skąd
\(\displaystyle{ \sin 2 \varphi = 2 \sin \varphi \cos \varphi = \frac{1}{2}}\)
i \(\displaystyle{ 2 \varphi = 30^{ \circ} \lor 2 \varphi = 150^{ \circ}}\), a te możliwości już łatwo sprawdzić.