Potęgowanie liczb zespolonych

[Pusiux]

Witam, mam problem z obliczeniem przykładowo takiej liczby zespolonej

\(\displaystyle{ \left( -1+i\right) ^ {19}}\) wiem że trzeba to przekształcić na postać trygonometryczna, wiec otrzymuje coś takiego

\(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{19}\left( cos\left( \frac{ \pi }{4} \right)+ isin\left( \frac{ \pi }{4} \right) \right)}\)

i wiem, że ma to się równać

\(\displaystyle{ 2 ^{9}\left( 1+i\right)}\)

ale nie mam pojęcia jak do tego doprowadzić.

[pyzol]

brakło ci ^19 dla nawiasu.
\(\displaystyle{ =\sqrt{2}^{19}(\cos(\frac{19\pi}{4})+i\sin(\frac{19\pi}{4}))}\)
Ze wzoru de Moivre'a (sorry za pismo nie pamiętam )
I upraszczasz to ze znanych wzorów redukcyjnych, wyliczasz sinus i cosinus i wychodzi.

[Pusiux]

tam w nawiasie już nie ma 19 bo zostało uproszczone, no nic, spróbuje.

[sushi]

\(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{19}\left( cos\left( \frac{ \pi }{4} \right)+ isin\left( \frac{ \pi }{4} \right) \right)}\)

\(\displaystyle{ 2 ^{9} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)=2^9 \cdot (1+i)}\)

[Dasio11]

Hmmm... błąd?

\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \frac{3 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \cos \frac{\pi}{4} \end{cases}}\)

Stąd \(\displaystyle{ (-1+\mbox{i})^{19} = \sqrt{2}^{19} \left( \cos\left( \frac{3 \pi }{4} \right)+ \mbox{i} \sin \left( \frac{3 \pi }{4} \right) \right)^{19}=\ldots}\)

[pyzol]

Nawet nie zwróciłem uwagi