Witam, mam problem z obliczeniem przykładowo takiej liczby zespolonej
\(\displaystyle{ \left( -1+i\right) ^ {19}}\) wiem że trzeba to przekształcić na postać trygonometryczna, wiec otrzymuje coś takiego
\(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{19}\left( cos\left( \frac{ \pi }{4} \right)+ isin\left( \frac{ \pi }{4} \right) \right)}\)
i wiem, że ma to się równać
\(\displaystyle{ 2 ^{9}\left( 1+i\right)}\)
ale nie mam pojęcia jak do tego doprowadzić.
Potęgowanie liczb zespolonych
- pyzol
- Użytkownik
- Posty: 4346
- Rejestracja: 26 kwie 2010, o 11:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Nowa Ruda
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 929 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
brakło ci ^19 dla nawiasu.
\(\displaystyle{ =\sqrt{2}^{19}(\cos(\frac{19\pi}{4})+i\sin(\frac{19\pi}{4}))}\)
Ze wzoru de Moivre'a (sorry za pismo nie pamiętam )
I upraszczasz to ze znanych wzorów redukcyjnych, wyliczasz sinus i cosinus i wychodzi.
\(\displaystyle{ =\sqrt{2}^{19}(\cos(\frac{19\pi}{4})+i\sin(\frac{19\pi}{4}))}\)
Ze wzoru de Moivre'a (sorry za pismo nie pamiętam )
I upraszczasz to ze znanych wzorów redukcyjnych, wyliczasz sinus i cosinus i wychodzi.
Potęgowanie liczb zespolonych
tam w nawiasie już nie ma 19 bo zostało uproszczone, no nic, spróbuje.
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Pusiux pisze: \(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{19}\left( cos\left( \frac{ \pi }{4} \right)+ isin\left( \frac{ \pi }{4} \right) \right)}\)
\(\displaystyle{ 2 ^{9} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{ \sqrt{2} }{2} +i \frac{ \sqrt{2} }{2} \right)=2^9 \cdot (1+i)}\)
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10227
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Potęgowanie liczb zespolonych
Hmmm... błąd?
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \frac{3 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \cos \frac{\pi}{4} \end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ (-1+\mbox{i})^{19} = \sqrt{2}^{19} \left( \cos\left( \frac{3 \pi }{4} \right)+ \mbox{i} \sin \left( \frac{3 \pi }{4} \right) \right)^{19}=\ldots}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} \sin \frac{3 \pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos \frac{3 \pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \neq \cos \frac{\pi}{4} \end{cases}}\)
Stąd \(\displaystyle{ (-1+\mbox{i})^{19} = \sqrt{2}^{19} \left( \cos\left( \frac{3 \pi }{4} \right)+ \mbox{i} \sin \left( \frac{3 \pi }{4} \right) \right)^{19}=\ldots}\)