rzeczywista czesc liczby e^iz

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
rahl

rzeczywista czesc liczby e^iz

Post autor: rahl »

witam,

srednio wiem jak sie zabrac za takie zadanie:

'przenies' na plaszczyzne zespolona nierownosc:

\(\displaystyle{ Re (e^{iz})>0}\)

gdzie z jest liczba zespolona
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

rzeczywista czesc liczby e^iz

Post autor: bolo »

\(\displaystyle{ e^{iz}=\cos(z)+i\sin{z}}=\\=\cos(x+iy)+i\sin(x+iy)=\\=\cos x\cos(iy)-\sin x\sin(iy)+i(\sin x\cos(iy)+\sin(iy)\cos x)=\\=\cos x\cosh y+i\sin x\sinh y+i(\sin x\cosh y-i\sinh y\cos x)=\\=\cos x\cosh y+i\sin x\sinh y+i\sin x\cosh y+\sinh y\cos x \\ \Re( e^{iz})=e^{y}\cos x}\)

Wydaje mi się, że nie ma błędów w przekształceniach. Dalej możesz już samemu.
Ostatnio zmieniony 1 sty 1970, o 01:00 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
rahl

rzeczywista czesc liczby e^iz

Post autor: rahl »

a daloby sie to zrobic nie uzywajac funkcji hiperbolicznych? zadanie to pojawilo mi sie jako podsumowanie pewnego dzialu, w ktorym takich funkcji nie bylo
Awatar użytkownika
bolo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

rzeczywista czesc liczby e^iz

Post autor: bolo »

Tak jest chyba najwygodniej. Skorzystałem z następujących faktów:

\(\displaystyle{ \sinh x=i\sin(ix) \\ \cosh x=\cos(ix)}\)
rahl

rzeczywista czesc liczby e^iz

Post autor: rahl »

widze, ze to w miare prosty i wygodny sposob, ale zastanawiam sie czy to mozna rownie prosto [lub ciut trudniej] rozwiazac nie odwolujac sie do tychze faktow. zastanawiam sie dlatego, ze, jak juz napisalem, autor zadania wie, ze ja tych funkcji nie znam, a mimo to takie zadanie mi serwuje. mowiac konkretnie, przyklad ten zobaczylem na kolokwium, dlatego tak sie wypytuje czy mozna to zrobic w miare 'latwo i przyjemnie' stosujac 'prymitywniejsze' metody.
chlip
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 152
Rejestracja: 6 paź 2004, o 14:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: zadupiów
Pomógł: 2 razy

rzeczywista czesc liczby e^iz

Post autor: chlip »

Ja to widze tak
\(\displaystyle{ z=x+iy\\
e^{iz}=e^{-y} e^{ix}\\
e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}\\
e^{iz}=e^{-y} (\cos{x}+i\sin{x})\\
Re( e^{iz})=e^{-y}\cos x}\)
rahl

rzeczywista czesc liczby e^iz

Post autor: rahl »

chlip: dzieki, widze ze jednak przyklad jest banalny
ODPOWIEDZ