Rozwiązanie równania

[kamil0706]

Czy ktoś mógłby wytłumaczyć mi jak się rozwiązuje równania w ciele liczb zespolonych np na tym przykładzie?
\(\displaystyle{ z^{3} +64=0}\)

[Quaerens]

\(\displaystyle{ z=\sqrt[3]{64}}\)

Policz teraz moduł oraz argument dla cos i sin, a następnie podstaw do wzoru:

\(\displaystyle{ z_{k}=\sqrt[n]{|z|}(cos\frac{\varphi +2k\pi}{n}+isin\frac{\varphi +2k\pi}{n})}\)

[Piotr654]

\(\displaystyle{ z^{3}+64=z^{3}+4^{3}=(z+8)(z^{2}-4z+4^{2})=(z+8)(z^2-4z+16)}\), Z tego prawego nawiasu masz ujemną deltę, mianowicie: \(\displaystyle{ \Delta=16-64=-48}\), czyli \(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=\sqrt{-48}=\sqrt{-1*48}=\sqrt{-1}*\sqrt{48}=i*4\sqrt{3}}\) i dalej to już normalnie wyliczasz, ze wzorów Vieta. Inny przykład: \(\displaystyle{ x^{2}+1=x^{2}-(-1)=(x-\sqrt{-1})(x+\sqrt{-1})=(x-i)(x+i)}\). Zasadniczo wszystko się obraca wokół pierwiastkowania liczb ujemnych, czyli pierwiastka iloczynu liczby dodatniej i -1, a pierwiastek z -1 to i.