\(\displaystyle{ \oint_{K}^{}\frac{z}{z^2+1}}\)dz ,gdzie K to łuk paraboli \(\displaystyle{ y=x^2}\) o początku 0 i końcu \(\displaystyle{ 1+i}\)
Proszę o policzenie tej całki z komentarzami. Z góry dziękuję!
Całka z funkcji zespolonej.
- Gacuteek
- Użytkownik
- Posty: 1075
- Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 272 razy
Całka z funkcji zespolonej.
Ten zapis stosuje się raczej dla całek po krzywych zamkniętych.\(\displaystyle{ \oint_{K}^{}\frac{z}{z^2+1}}\)
Zaczynasz od parametryzacji krzywej.
Niech \(\displaystyle{ A=(0,0)}\) oraz \(\displaystyle{ B=(1,1)}\) na płaszczyźnie zespolonej.
Ustalasz orientację dodatnią od A do B.
\(\displaystyle{ z(t)=x(t)+iy(t)=t+it^{2} \wedge t\in \left[ 0,1\right]}\)
Zamieniamy całkę wyjściową na całkę oznaczoną:
\(\displaystyle{ t=0 \Rightarrow z(0)=0}\)
\(\displaystyle{ t=1 \Rightarrow z(1)=1+i}\)
liczymy \(\displaystyle{ z'(t)=1+2ti}\) Wtedy:
\(\displaystyle{ \int_{\overline{AB}}f(z)dz= \int_{0}^{1}f(z(t))z'(t)dt= \int_{0}^{1} \frac{t+it^{2}}{1+(t+it^{2})^{2}}(1+2ti)dt}\)
Teraz dwukrotnie przez podstawienie i powinien wyjść jakiś logarytm.
Pozdrawiam.