rozwiazac ronwnanie

[tro1]

\(\displaystyle{ i\cdot\overline{z}^6=z^6}\)

[Crizz]

Spróbuj skorzystać z postaci wykładniczej lub trygonometrycznej liczby zespolonej (zauważ, że sprzężenie do liczby to ten sam moduł i przeciwny argument, natomiast mnożenie przez \(\displaystyle{ i}\) odpowiada obrotowi liczby o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}}\)).

[Qń]

Chyba prościej zauważyć najpierw, że \(\displaystyle{ |z|\in \{0,1\}}\) - skąd albo \(\displaystyle{ z=0}\), albo \(\displaystyle{ |z|=1}\). W tym drugim wypadku mnożymy równanie stronami przez \(\displaystyle{ z^6}\) i otrzymujemy \(\displaystyle{ z^{12}=i}\), więc rozwiązaniami są wszystkie pierwiastki dwunastego stopnia z \(\displaystyle{ i}\) (oraz zero).

Q.

[tro1]

a dlaczego \(\displaystyle{ |z| \in {0,1}}\)?
wiec wystarczy pomnozyc przez \(\displaystyle{ z^6}\) i bede mial \(\displaystyle{ i=z^12}\) i to koniec?

[Qń]

Oczywiście bredzę, wcale tak nie musi być. Ale łatwo naprawić błąd - jeśli pomnożymy stronami przez \(\displaystyle{ \frac{z^6}{|z|^{12}}}\) (przy założeniu \(\displaystyle{ z\neq 0}\)), to otrzymamy:
\(\displaystyle{ i=\left( \frac{z}{|z|}\right)^{12}}\)

Zatem \(\displaystyle{ z}\) jest dowolną wielokrotnością pierwiastka dwunastego stopnia z \(\displaystyle{ i}\)

Q.

[tro1]

Q czy moglbys troche jasniej bo nie rozumiem? dlaczego mnozysz stronami przez \(\displaystyle{ \frac{z^6}{|z|^12}}\) a nie przez samo \(\displaystyle{ z^6}\)?

[Qń]

No to po kolei - wiadomo, że \(\displaystyle{ z\cdot \overline{z}=z^2}\). Tak więc po pomnożeniu przez \(\displaystyle{ z^6}\) dostaniemy:
\(\displaystyle{ i\cdot |z|^{12}=z^{12}}\)
Jeśli \(\displaystyle{ |z|=0}\), to \(\displaystyle{ z=0}\), a jeśli \(\displaystyle{ |z|\neq 0}\), to równoważnie mamy:
\(\displaystyle{ i=\left( \frac{z}{|z|}\right)^{12}}\)

Jeśli oznaczymy \(\displaystyle{ \frac{z}{|z|}=w}\), to oczywiście \(\displaystyle{ w}\) jest pierwiastkiem dwunastego stopnia z \(\displaystyle{ i}\). Przy ustalonym \(\displaystyle{ w}\) liczba \(\displaystyle{ z}\) ma dowolny moduł, ale taki sam argument jak \(\displaystyle{ w}\). Tak więc \(\displaystyle{ z}\) jest po prostu dowolną wielokrotnością \(\displaystyle{ w}\).

Q.