Pierwiastki zespolone w postaci algebraicznej

[Althorion]

Znajdź wszystkie pierwiastki trzeciego stopnia z liczby:
\(\displaystyle{ z = \frac{-\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}i}{(-1+i)(2+2i)}}\)
Przedstaw je w postaci algebraicznej (postać trygonometryczna NIE będzie zaliczona).

Zadanie byłoby banalne, gdyby nie ta postać algebraiczna. W przeciwnym wypadku trzeba znać funkcje trygonometryczne dla jakiś \(\displaystyle{ -20^\circ}\)...

Chyba że ma ktoś jakiś lepszy pomysł?

[lukasz1804]

Mianownik liczby \(\displaystyle{ z}\) to liczba rzeczywista, mamy \(\displaystyle{ z=\frac{1}{8}-\frac{\sqrt{3}}{8}i}\). Skoro szukasz pierwiastków trzeciego stopnia, to możesz rozwiązać układ \(\displaystyle{ z=(a+bi)^3}\) (utworzony z przyrównania części rzeczywistych i urojonych obu stron) w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ a,b}\).
Trochę rachunków jest, ale jest to sposób niezawodny i omija postać trygonometryczną liczby zespolonej.