Wykazac, ze
a) pierwiastek zespolony z liczby \(\displaystyle{ z}\) jest liczba rzeczywista wtw., gdy \(\displaystyle{ Rez \ge 0, Imz=0.}\)
b) pierwiastek zespolony z liczby \(\displaystyle{ z}\) jest liczba urojona wtw., gdy \(\displaystyle{ Rez<0,Imz=0.}\)
Pierwisatek zespolony.
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Pierwisatek zespolony.
Rozumiem, że chodzi o pierwiastek kwadratowy?
Korzystamy z definicji pierwiastka: liczba a jest pierwiastkiem z liczby z wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a^2=z}\).
a) Najpierw udowadniamy, że jeśli pierwiastek jest rzeczywisty, to \(\displaystyle{ Rez \ge 0, Imz=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ w\in \mathbb{R}}\) jest pierwiastkiem z liczby \(\displaystyle{ z}\), to zgodnie z definicją \(\displaystyle{ z=w^{2}}\); \(\displaystyle{ w^{2}\in \mathbb{R}}\) (czyli \(\displaystyle{ Im(z)=0}\)) oraz \(\displaystyle{ Re(z) \ge 0}\) (kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny).
Teraz udowadniamy, że jeśli \(\displaystyle{ Rez \ge 0, Imz=0}\), to pierwiastki kwadratowe z liczby \(\displaystyle{ z}\) są rzeczywiste. Każdy z rozważanych pierwiastków kwadratowych \(\displaystyle{ w}\) (zgodnie z definicją) spełnia warunek:
\(\displaystyle{ z=w^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ w=a+bi,a,b\in \mathbb{R}}\), wówczas:
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=z}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=z}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ Im(z)=0}\), zatem (na mocy kryterium równości liczb zespolonych) \(\displaystyle{ 2abi=0}\). Iloczyn kilku liczb jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest zerem; ponieważ \(\displaystyle{ 2 \neq 0,i \neq 0}\), to musi być \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\). Gdyby \(\displaystyle{ a=0,b \neq 0}\), to mielibyśmy równość \(\displaystyle{ -b^{2}=z}\), co jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ Re(-b^{2})<0,Re(z) \ge 0}\). Sytuacja \(\displaystyle{ a\neq 0, b\neq 0}\) jest oczywiście niemożliwa. Musi więc być \(\displaystyle{ b=0}\).
b) Najpierw udowadniamy, że jeśli pierwiastki są liczbami urojonymi, to \(\displaystyle{ Rez<0,Imz=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ w=ai}\), gdzie \(\displaystyle{ i\in \mathbb{R}}\) jest pierwiastkiem z liczby \(\displaystyle{ z}\), to zachodzi (zgodnie z definicją) \(\displaystyle{ z=w^2=(ai)^2=a^2i^2=-a^2}\); \(\displaystyle{ a^{2}}\) jest liczbą nieujemną jako kwadrat liczby rzeczywistej, w związku z czym \(\displaystyle{ -a^{2}}\) jest liczbą niedodatnią, skąd \(\displaystyle{ Re(z)=-a^{2} \le 0,Im(z)=0}\).
Teraz udowadniamy, że jeśli \(\displaystyle{ Rez \ge 0, Imz=0}\), to pierwiastki z liczby \(\displaystyle{ z}\) są liczbami urojonymi. Każdy z pierwiastków \(\displaystyle{ w}\) spełnia zależność \(\displaystyle{ w^2=z}\). Niech \(\displaystyle{ w=a+bi,a,b\in \mathbb{R}}\) będzie pierwiastkiem z \(\displaystyle{ z}\), wówczas:
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=z\\
a^{2}-b^{2}+2abi=z}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ Im(z)=0}\), co oznacza (na mocy kryterium równości liczb zespolonych), że \(\displaystyle{ 2abi=0}\). Iloczyn kilku liczb jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest zerem; ponieważ \(\displaystyle{ 2 \neq 0,i \neq 0}\), to musi być \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\). Gdyby \(\displaystyle{ b=0}\), to mielibyśmy równość \(\displaystyle{ a^{2}=z}\), co jest niemożliwe, gdyż po lewej stronie równości mamy nieujemną liczbę rzeczywistą, a po prawej - ujemną liczbę rzeczywistą. Gdyby jednocześnie było \(\displaystyle{ a=0,b=0}\), otrzymalibyśmy równość \(\displaystyle{ z=0}\), co przeczy temu, że \(\displaystyle{ Re(z)<0}\). Musi zatem być \(\displaystyle{ a=0,b \neq 0}\).
Korzystamy z definicji pierwiastka: liczba a jest pierwiastkiem z liczby z wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a^2=z}\).
a) Najpierw udowadniamy, że jeśli pierwiastek jest rzeczywisty, to \(\displaystyle{ Rez \ge 0, Imz=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ w\in \mathbb{R}}\) jest pierwiastkiem z liczby \(\displaystyle{ z}\), to zgodnie z definicją \(\displaystyle{ z=w^{2}}\); \(\displaystyle{ w^{2}\in \mathbb{R}}\) (czyli \(\displaystyle{ Im(z)=0}\)) oraz \(\displaystyle{ Re(z) \ge 0}\) (kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny).
Teraz udowadniamy, że jeśli \(\displaystyle{ Rez \ge 0, Imz=0}\), to pierwiastki kwadratowe z liczby \(\displaystyle{ z}\) są rzeczywiste. Każdy z rozważanych pierwiastków kwadratowych \(\displaystyle{ w}\) (zgodnie z definicją) spełnia warunek:
\(\displaystyle{ z=w^{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ w=a+bi,a,b\in \mathbb{R}}\), wówczas:
\(\displaystyle{ (a+bi)^{2}=z}\)
\(\displaystyle{ a^{2}-b^{2}+2abi=z}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ Im(z)=0}\), zatem (na mocy kryterium równości liczb zespolonych) \(\displaystyle{ 2abi=0}\). Iloczyn kilku liczb jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest zerem; ponieważ \(\displaystyle{ 2 \neq 0,i \neq 0}\), to musi być \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\). Gdyby \(\displaystyle{ a=0,b \neq 0}\), to mielibyśmy równość \(\displaystyle{ -b^{2}=z}\), co jest niemożliwe, bo \(\displaystyle{ Re(-b^{2})<0,Re(z) \ge 0}\). Sytuacja \(\displaystyle{ a\neq 0, b\neq 0}\) jest oczywiście niemożliwa. Musi więc być \(\displaystyle{ b=0}\).
b) Najpierw udowadniamy, że jeśli pierwiastki są liczbami urojonymi, to \(\displaystyle{ Rez<0,Imz=0}\). Jeśli \(\displaystyle{ w=ai}\), gdzie \(\displaystyle{ i\in \mathbb{R}}\) jest pierwiastkiem z liczby \(\displaystyle{ z}\), to zachodzi (zgodnie z definicją) \(\displaystyle{ z=w^2=(ai)^2=a^2i^2=-a^2}\); \(\displaystyle{ a^{2}}\) jest liczbą nieujemną jako kwadrat liczby rzeczywistej, w związku z czym \(\displaystyle{ -a^{2}}\) jest liczbą niedodatnią, skąd \(\displaystyle{ Re(z)=-a^{2} \le 0,Im(z)=0}\).
Teraz udowadniamy, że jeśli \(\displaystyle{ Rez \ge 0, Imz=0}\), to pierwiastki z liczby \(\displaystyle{ z}\) są liczbami urojonymi. Każdy z pierwiastków \(\displaystyle{ w}\) spełnia zależność \(\displaystyle{ w^2=z}\). Niech \(\displaystyle{ w=a+bi,a,b\in \mathbb{R}}\) będzie pierwiastkiem z \(\displaystyle{ z}\), wówczas:
\(\displaystyle{ (a+bi)^2=z\\
a^{2}-b^{2}+2abi=z}\)
Wiemy, że \(\displaystyle{ Im(z)=0}\), co oznacza (na mocy kryterium równości liczb zespolonych), że \(\displaystyle{ 2abi=0}\). Iloczyn kilku liczb jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest zerem; ponieważ \(\displaystyle{ 2 \neq 0,i \neq 0}\), to musi być \(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\). Gdyby \(\displaystyle{ b=0}\), to mielibyśmy równość \(\displaystyle{ a^{2}=z}\), co jest niemożliwe, gdyż po lewej stronie równości mamy nieujemną liczbę rzeczywistą, a po prawej - ujemną liczbę rzeczywistą. Gdyby jednocześnie było \(\displaystyle{ a=0,b=0}\), otrzymalibyśmy równość \(\displaystyle{ z=0}\), co przeczy temu, że \(\displaystyle{ Re(z)<0}\). Musi zatem być \(\displaystyle{ a=0,b \neq 0}\).