Postać zwarta sumy

[Dycu]

Najpierw przedstawię przykład z książki ponieważ nie rozumiem w nim pewnej rzeczy:

Wykorzystując wzór na sumę wyrazów zespolonego ciągu geometrycznego obliczyć:
\(\displaystyle{ 1+cos{x}+cos{2x}+...+cos{nx}}\)

Wykorzystano następującą zależność (ze wzoru na sumę elementów ciągu geometrycznego):
\(\displaystyle{ = Re{(1+z+...+z^n)}=Re{\frac{1-z^{n+1}}{1-z}}\)

Nie będę podawał obliczeń. Wynik jest następujący:
\(\displaystyle{ \frac{sin{\frac{(n+1)x}{2}}}{sin\frac{x}{2}}} cos\frac{nx}{2}}\)

Rozwiązanie zadania kończy się zdaniem:
Ostatni rachunek jest prawdziwy dla \(\displaystyle{ z\not=1}\), to znaczy dla \(\displaystyle{ x\not=2k\pi}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in{Z}}\). Dla \(\displaystyle{ x=2k\pi}\) mamy \(\displaystyle{ 1+cos{2k\pi}+...+cos{n2k\pi} = n+1}\).

Gdyby ktoś mógłby wytłumaczyć dlaczego rozwiązaniem tego zadania jest podstawienie pod x wartości dla której część rzeczywista nie istnieje?

Moje zadanie wygląda natomiast następująco:
\(\displaystyle{ sin{x}+sin{2x}+...+sin{nx}}\)

Z góry dziękuję za wszelka udzieloną pomoc.

[mol_ksiazkowy]

tu sie korzysta ze wzoru de Moivre a....