\(\displaystyle{ Im\frac{1+iz}{1-iz}=1}\)
Najpierw mnożyłem przez sprzężenie, potem pomnożyłem przez mianownik i chciałem przyrównać do siebie części urojone, ale żaden okrąg jak w zadaniu mi nie wyszedł...
Naszkicuj na płaszczyźnie
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Naszkicuj na płaszczyźnie
\(\displaystyle{ z=x+iy \\
\frac{1+iz}{1-iz} = \frac{1-y+ix}{1+y-ix} =
\frac{\left[ 1-y+ix \right]\left[ 1+y+ix \right] }{\left[ 1+y-ix \right]\left[ 1+y+ix \right]} \\
\Rightarrow \Im \left( \frac{1+iz}{1-iz}\right) = \frac{x(y+1)+x(1-y)}{(1+y)^2+x^2} =
\frac{xy+x+x-xy}{(1+y)^2+x^2} = \frac{2x}{(1+y)^2+x^2} \\
\Rightarrow \frac{2x}{(1+y)^2+x^2} = 1 \\
2x = (1+y)^2+x^2 \\
1 = (1+y)^2 + x^2 - 2x + 1 \\
(x-1)^2+(y+1)^2 = 1}\)
\frac{1+iz}{1-iz} = \frac{1-y+ix}{1+y-ix} =
\frac{\left[ 1-y+ix \right]\left[ 1+y+ix \right] }{\left[ 1+y-ix \right]\left[ 1+y+ix \right]} \\
\Rightarrow \Im \left( \frac{1+iz}{1-iz}\right) = \frac{x(y+1)+x(1-y)}{(1+y)^2+x^2} =
\frac{xy+x+x-xy}{(1+y)^2+x^2} = \frac{2x}{(1+y)^2+x^2} \\
\Rightarrow \frac{2x}{(1+y)^2+x^2} = 1 \\
2x = (1+y)^2+x^2 \\
1 = (1+y)^2 + x^2 - 2x + 1 \\
(x-1)^2+(y+1)^2 = 1}\)