Obrót o 90*

[Jerzy_q]

Dla \(\displaystyle{ z,w\in \mathbb{C}}\) i \(\displaystyle{ |z+w|=|z-w|}\), wykaż, że \(\displaystyle{ \arg z}\) i \(\displaystyle{ \arg w}\) różnią się o \(\displaystyle{ \pi /2}\).

Zasadniczo rozwiązałem zadanie (dla \(\displaystyle{ z=z_1 +z_2 i, w=w_1 +w_2 i}\) dojść do \(\displaystyle{ z_2/z_1 = -w_1/w_2}\), wykorzystać \(\displaystyle{ \tg 90 + \theta = -1/(\tg \theta)}\)...), mam tylko problem z formalnym zapisem - mieszają mi się argumenty funkcji arctan itd. Liczę na Waszą pomoc

[Lorek]

Próbowałem twoim sposobem, ale za dużo kombinacji więc może tak: Skoro w ogóle mówimy o argumentach to \(\displaystyle{ z\neq 0,\ w\neq 0}\), i teraz
\(\displaystyle{ |z+w|= |z-w|\iff |\frac{z}{w}+1|=|\frac{z}{w}-1|}\)
a z kolei stąd wynika, że \(\displaystyle{ \frac{z}{w}=\alpha i,\ \alpha \in\mathbb{R}\setminus\{0\}}\). Obkładając obustronnie argumentem mamy
\(\displaystyle{ \arg \frac{z}{w}=\pm \frac{\pi}{2}\iff |\arg z-\arg w| =\frac{\pi}{2}}\)
QED.

[Jerzy_q]

\(\displaystyle{ |\frac{z}{w}+1|=|\frac{z}{w}-1|}\) a z kolei stąd wynika, że \(\displaystyle{ \frac{z}{w}=\alpha i,\ \alpha \in\mathbb{R}\setminus\{0\}}\)

Czy ten fakt wynikania da się wyjaśnić jakimś wyliczeniem, czy to po prostu "widać" z rysunku na płaszczyźnie? Mój nauczyciel niestety nie lubi takich dowodów...

[Lorek]

Tak, da się, rozwiąż \(\displaystyle{ |z+1|=|z-1|,\ \ (z=a+bi...)}\), a zobaczysz, że wyjdzie \(\displaystyle{ \Re z=0}\)