Iloczyn zespolonych pierwistków jedynki

[pelas_91]

Proszę o wskazanie (i uzasadnienie) błędu w poniższym niepoprawnym rozumowaniu.

\(\displaystyle{ \varepsilon_k=\cos\frac{2k\pi}{n} + i\cdot \sin\frac{2k\pi}{n}, k=0,1,2,3,...,n-1}\) to dowolny zespolony pierwiastek n-tego stopnia z 1
Pamiętając, że \(\displaystyle{ \varepsilon_0=1}\) oraz \(\displaystyle{ \varepsilon_k=(\varepsilon_1)^k, k=0,1,2,3,...,n-1}\) obliczymy \(\displaystyle{ \prod_{k=0}^{n-1}\varepsilon_k}\). Mamy:
\(\displaystyle{ \varepsilon_0 \cdot \varepsilon_1 \cdot \varepsilon_2 \cdot \varepsilon_3 \cdot ... \cdot \varepsilon_{n-1}=1 \cdot \varepsilon_1 \cdot (\varepsilon_1)^2 \cdot (\varepsilon_1)^3 \cdot ... \cdot (\varepsilon_1)^{n-1} =(\varepsilon_1)^{1+2+3+...+(n-1)}=(\varepsilon_1)^{\frac{n(n-1)}{2}}=\sqrt{((\varepsilon_1)^n)^{n-1}}}\)
\(\displaystyle{ \varepsilon_1}\) jest jednym spośród n zespolonych pierwiastków n-tego stopnia z liczby 1, zatem \(\displaystyle{ (\varepsilon_1)^n=1}\)
Mamy: \(\displaystyle{ \sqrt{1^{n-1}}=\sqrt{1}=1}\)

[Dasio11]

Moim zdaniem, zapis

\(\displaystyle{ (\varepsilon_1)^{\frac{n(n-1)}{2}} = \left( (\varepsilon_1)^{n(n-1)} \right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{((\varepsilon_1)^n)^{n-1}}}\)

jest nie do końca poprawny, gdyż może to prowadzić do podobnych wniosków:

\(\displaystyle{ -1=\mbox{i}^6=\sqrt{\mbox{i}^{12}}=\sqrt{1}= \{ -1, 1 \}}\)

Oznacza to, że podnosząc liczbę do potęgi np. \(\displaystyle{ \frac{2}{2}}\) tracisz część informacji o niej.
W późniejszym przejściu jest jeszcze jeden błąd, a mianowicie \(\displaystyle{ \sqrt{1}=1}\) - nie jest to prawdą, gdy mówimy o pierwiastkowaniu liczby zespolonej.

Stąd dalsza część dowodu powinna (wg mnie) przebiegać tak:

ciąg dalszy:    

\(\displaystyle{ \prod_{k=1}^n \varepsilon_k = (\varepsilon_1)^{\frac{n(n-1)}{2}}= \begin{cases} 1 \quad \text{gdy n nieparzyste} \\ -1 \quad \text{gdy n parzyste} \end{cases}}\),

ponieważ gdy \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste, to \(\displaystyle{ \frac{n-1}{2} \in \mathbb{N}}\) i

\(\displaystyle{ (\varepsilon_1)^{\frac{n(n-1)}{2}}= \left( (\varepsilon_1)^n \right)^{\frac{n-1}{2}}=1^{\frac{n-1}{2}}}\),

zaś gdy \(\displaystyle{ n}\) jest parzyste, to \(\displaystyle{ n-1}\) jest nieparzyste i

\(\displaystyle{ (\varepsilon_1)^{\frac{n(n-1)}{2}}= \left( (\varepsilon_1)^{\frac{n}{2}} \right)^{n-1}=\left( \cos \pi + \mbox{i} \sin \pi \right)^{n-1}=(-1)^{n-1}=-1}\).