wyznacz moduł i argument główny

[nogiln]

\(\displaystyle{ z=-4}\)

czy mogę liczbę \(\displaystyle{ z}\) zapisać w ten sposób \(\displaystyle{ z=(-4,0)}\)?

więc moduł będzie wyglądał tak \(\displaystyle{ \left| z\right| = \sqrt{(-4)^{2}+(0)^{2}}}\)więc

\(\displaystyle{ \left|z \right| =4}\)

argument główny wyliczam ze wzorów \(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{\left| z\right| } \wedge sin \alpha = \frac{y}{\left| z\right| }}\)

a więc w \(\displaystyle{ cos \alpha =-1 \wedge sin \alpha =0}\) i tu jest problem, bo nie wiem jak wyliczyć argument główny?

[grzywatuch]

Możesz zapisać tak liczbe.

To arguentem głównym bedzie kąt dla którego \(\displaystyle{ cos \alpha =-1 \wedge sin \alpha =0}\) zawężonym do przedziału \(\displaystyle{ <0, 2 \pi>}\) (bo i tak powtarzaja sie co \(\displaystyle{ 2k \pi}\)

P.S bo chodzi ci chyba o zamiane liczby zespolonej w postaci algebraicznej na trygnometryczna i własnie w tej postaci trygonometrycznej masz argument główny to znaczy kąt dla jakiego te 2 wartosci co wcześniej obliczyłeś sa spełnione.

[nogiln]

to jaki będzie to kąt
i czy liczbę
\(\displaystyle{ z=-1- \sqrt{3}i}\)

mogę zapisać

\(\displaystyle{ (-1- \sqrt{3}i)=(-1,0)- \sqrt{3}(0,1)=(-1,0)-(0,- \sqrt{3})=(-1,-\sqrt{3})}\)

[grzywatuch]

\(\displaystyle{ z=-1- \sqrt{3}i}\), wg mnie to jakos za bardzo kombinujesz z tymi zapisami (znaczy to jest wg mnie niepotrzebne):

\(\displaystyle{ z=x+iy}\)

Jak obliczasz moduł to bierzesz pod pierwiastek cześć realna do kwartatu plus część urojona tej liczby do kwadratu (czyli ta stojącą przy i):

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{x^2+y^2}}\)

Czyli wyjdzie:

\(\displaystyle{ |z|= \sqrt{(-1)^2+(- \sqrt{3})^2 } = \sqrt{4} = 2}\)

\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{x}{\left| z\right| } \wedge sin \alpha = \frac{y}{\left| z\right| }}\)
\(\displaystyle{ cos \alpha = \frac{-1}{2} \wedge sin \alpha = \frac{ -\sqrt{3} }{2}}\) wiec te wartości sa dla kąta \(\displaystyle{ \alpha = \frac { \pi }{3}}\):

Tu ci sie przyda jeszcze wierszyk (ponieważ te kąty nie sa w pierwszej ćwiartce pownieważ nie sa one dodatnie):

W pierwszej wszystkie są dodatnie.
W drugiej tylko sinus.
W trzeciej tangens i cotangens.
A w czwartej cosinus.

i dzięki temu możemy te nasze wartości sprowadzić do pierwszej ćwiartki wg zasady:
I ćw. kąt równa sie naszemu \(\displaystyle{ \alpha}\) bo wszystkie sa dodtnie
II ćw. \(\displaystyle{ \pi - \alpha}\)
III ćw. \(\displaystyle{ \pi + \alpha}\)
IV ćw. \(\displaystyle{ 2 \pi - \alpha}\)

U nas akurat mamy III ćwiartke, więc: \(\displaystyle{ \pi + \frac{ \pi }{3} = \frac{4}{3} \pi}\)

Dalej jak sprowadzasz do postaci trygonometrycznej to wyjdzie tak:

\(\displaystyle{ z= |z|(cos \frac{4}{3} \pi + isin \frac{4}{3} \pi)}\)

Korzystasz ze wzorów redukcyjnych:

\(\displaystyle{ z= |z|(cos ( \pi + \frac{\pi}{3} ) + isin ( \pi + \frac{ \pi}{3}))}\)
\(\displaystyle{ z= |z|(-cos \frac{\pi}{3} - isin \frac{ \pi}{3})}\)

no i jak chcesz obliczyc ta wartość to za moduł i za cos i sin podstawiasz wartości ponieważ terz je znasz bo pewnie uczyłeś sie takiej uproszczonej tabelki na funkcji trygonometrycznych dla pierwszej ćwiartki,

mysle ze sie nie pomyliłem xD

[nogiln]

a w odpowiedziach jest

\(\displaystyle{ arg(-1- \sqrt{3}i)=-2 \pi /3}\)

[grzywatuch]

wg mnie to argument nie bardo moze sie równać minus jakas liczba, powiedz mi co to sa kąt np \(\displaystyle{ \alpha = - 60 ^o}\), chyba ze ja moze jeszcze za mało wiem, liczba moze być ujemna np cos albo sin ale jakos kąt zeby był ujemny i bedzie sie zapisywało ten argument główny tak??:

\(\displaystyle{ z = |z| (cos (-\frac{2}{3} \pi) + isin (-\frac{2}{3}))}\)?? Tak można zapisać pewnie ale ja np tego to nie stosuje, nie wiem jak ktoś inny

nie wiem chyba ze jak rysujesz argument z \(\displaystyle{ arg (z)}\) na płaszczyźnie Gaussa to wtedy obojętne czy narysujesz kat \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{3}}\) w strone przeciwna do ruchu zegara od poczatku układu współrzędnych czy o kąt \(\displaystyle{ - \frac{2}{3} \pi}\) zgodnie z ruchem wskazówek zegara, ale z tego co mi nauczyciele mówili to w matematyce wszystko robi sie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara xD

[nogiln]

jeżeli wartość jest ujemna to kąt kreślony jest zgodnie ze wskazówkami zegara.