Równianie z liczbami zespolonymi

lady_anya · Post autor: **lady_anya** » 11 gru 2010, o 17:39

Witam, mam mały problem z rozwiązaniem równania. Kompletnie nie mam pomysłu jak się za nie zabrać, więc będę wdzięczna za podpowiedź
\(\displaystyle{ \left(\frac{z+i}{z-i} \right) ^4=1}\)

Próbowałam zastosować wzór skróconego mnożenia (przerzuciłam 1 na lewą stronę i dwukrotnie skorzystałam z różnicy kwadratów) i zapisałam jako

\(\displaystyle{ \left[ \left( \frac{z+i}{z-i}\right)+1 \right]\left[ \left( \frac{z+i}{z-i}\right)-1 \right] \left[ \left( \frac{z+i}{z-i}\right)^2+1 \right] =0}\)
z tego wynika że każde z trzech wyrażeń może być równe \(\displaystyle{ 0}\)
w pierwszym przypadku wyszło mi że

\(\displaystyle{ z=0}\)

w drugim sprzeczność, a za trzeci nie mam pojęcia jak się zabrać ;/ i nie wiem czy dobrze te przypadki wykombinowałam ;p

Lorek · Post autor: **Lorek** » 11 gru 2010, o 17:56

\(\displaystyle{ 1=-i^2}\) i dalej rozkładasz na czynniki.

lady_anya · Post autor: **lady_anya** » 11 gru 2010, o 18:24

Znów ze wzoru skróconego mnożenia? Zrobiłam tak i po paru przekształceniach mam że

\(\displaystyle{ z+i-zi-1=0 \; \vee \; z+i+zi+1=0}\)

I co dalej z tym? Podstawiłam za \(\displaystyle{ z=a+bi}\) ale to chyba nie to..-- 11 gru 2010, o 18:30 --Jednak to było to, poprzekształcałam i wyszło
Wielkie dzięki