szereg potęgowy

[gudlajek]

Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } a_nz^n}\) , jeśli:
a) \(\displaystyle{ a_n=n^n}\)
b) \(\displaystyle{ a_n= \frac{n!}{n^n}}\)
c) \(\displaystyle{ a_n=\left[ -2+\left( -1\right) ^n \right] ^{n+1}}\)
d) \(\displaystyle{ a_n=cos in}\)

[Gacuteek]

Zastosuj wzór Cauchy'ego Hadamarda:
\(\displaystyle{ \frac{1}{R}=\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|a_n|}}\)

[gudlajek]

a) \(\displaystyle{ \frac{1}{R}=\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{|n^n|}=\limsup\limits_{n\to\infty} n= \infty \Rightarrow r= \frac{1}{ \infty }=0}\)
b) \(\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}= \limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{(n-1)!}{n}}= \infty}\)
c) \(\displaystyle{ frac{1}{R}=\limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left[ -2+\left( -1\right) ^n \right] ^{n+1}}= \limsup\limits_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left[ -2+\left( -1\right) ^n \right] }=1}\)
d) rozbieżny

[Gacuteek]

(a) jest dobrze
(b) tu korzystasz z kryterium d'Alemberta
\(\displaystyle{ \limsup\limits_{n\to\infty}| \frac{a_{n+1}}{a_{n}}|=q}\)
Będzie trzeba również w obliczeniach skorzystać z granicy ciągu \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{n})^{n}}\)
(c) zapomniałeś o module pod wyrażeniem pierwiastkowym. Granicą górna wyrażenia będzie zatem liczba 3.
(d)skorzystaj z faktu, że:
\(\displaystyle{ cosin= \frac{e^{i(in)}+e^{-i(in)}}{2}=\frac{1}{2}(e^{n}+\frac{1}{e^{n}})}\)
Przy badaniu granicy tw. o trzech ciągach powinno pomóc.
Pozdrawiam.