Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania:
W zbiorze liczb zespolonych rozwiąż równanie: \(\displaystyle{ (\overline{z}+2)^{2}=(1-z)^{2}}\) oraz obliczyć \(\displaystyle{ (2+2*\sqrt{3}*i)^{20}}\)
Zrobiłem podstawienie:
\(\displaystyle{ \overline{z}=x-iy}\)
\(\displaystyle{ z=x+iy}\)
Stąd otrzymuję:
\(\displaystyle{ (x-iy)^{2}+4(x-iy)+4=1-2(x+iy)+(x+iy)^{2}}\)
Po uporządkowaniu (jeśli gdzieś się nie pomyliłem) wychodzi:
\(\displaystyle{ 6x-4xiy-6iy+3=0}\)
Teraz otrzymuje układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 6x+3=0\\-4xy-6y=0\\ \end{array}}\)
i wychodzi \(\displaystyle{ x=-\frac{1}{2}}\) oraz \(\displaystyle{ y=0}\)
Czy te moje obliczenia nie są jakąś bzdurą i czy na tym jest koniec rozwiązania tego równania?
Mam jeszcze jedno pytanie do Waś Matemetycy: jak wyznaczyć: \(\displaystyle{ (2+2*\sqrt{3}*i)^{20}}\)??
Proszę o pomoc
Rozwiązanie równania w zbiorze liczb zespolonych
-
slawekstudia6
- Użytkownik
- Posty: 394
- Rejestracja: 5 sty 2010, o 20:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: HRUBIESZÓW
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 77 razy
Rozwiązanie równania w zbiorze liczb zespolonych
w 1) jeżeli się nie pomyliłeś to tak się właśnie robi, a wynik po sprawdzeniu wyszedł dobrze
czyli jednak nie masz błędu
przypomnij sobie postać trygonometryczną z tej postaci łatwo 2) przykład zrobisz
wskazówka masz 1-szą ćwiartkę
tak się zamienia na postać trygonometryczną
a na koniec
\(\displaystyle{ z=\left| z\right| ^n\left( cos(n\phi)+i sin (n\phi)\right)}\)
gdzie n u Ciebie wynosi 20
-- 13 gru 2010, o 09:48 --
\(\displaystyle{ \left( 2+2\sqrt{3} \cdot i\right) ^{20}=\left( 4\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i\right) \right) ^{20}=4^{20}\left( cos\left( \frac{\pi}{3} \right)+isin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right) ^{20}=}\)
\(\displaystyle{ =4^{20}\left( cos\left( 20 \cdot \frac{ \pi}{3} \right)+isin\left(20 \cdot \frac{\pi}{3} \right) \right)=...}\)
\(\displaystyle{ cos\left( 20 \cdot \frac{ \pi}{3} \right)=cos\left( \frac{18 \pi+2\pi}{3} \right)=cos\left( \frac{2\pi}{3} \right)=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\left( \frac{2\pi}{3} \right)= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ ...=4^{20}\left( - \frac{1}{2}+\frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
dawno to miałem ale coś wyszło, korzystając ze wzorów zrobisz to znacznie krócej
-- 13 gru 2010, o 09:51 --
pomyłka
\(\displaystyle{ sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
czyli jednak nie masz błędu
przypomnij sobie postać trygonometryczną z tej postaci łatwo 2) przykład zrobisz
wskazówka masz 1-szą ćwiartkę
tak się zamienia na postać trygonometryczną
a na koniec
\(\displaystyle{ z=\left| z\right| ^n\left( cos(n\phi)+i sin (n\phi)\right)}\)
gdzie n u Ciebie wynosi 20
-- 13 gru 2010, o 09:48 --
\(\displaystyle{ \left( 2+2\sqrt{3} \cdot i\right) ^{20}=\left( 4\left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot i\right) \right) ^{20}=4^{20}\left( cos\left( \frac{\pi}{3} \right)+isin\left( \frac{\pi}{3} \right) \right) ^{20}=}\)
\(\displaystyle{ =4^{20}\left( cos\left( 20 \cdot \frac{ \pi}{3} \right)+isin\left(20 \cdot \frac{\pi}{3} \right) \right)=...}\)
\(\displaystyle{ cos\left( 20 \cdot \frac{ \pi}{3} \right)=cos\left( \frac{18 \pi+2\pi}{3} \right)=cos\left( \frac{2\pi}{3} \right)=- \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ cos\left( \frac{2\pi}{3} \right)= \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ ...=4^{20}\left( - \frac{1}{2}+\frac{ \sqrt{3} }{2}i\right)}\)
dawno to miałem ale coś wyszło, korzystając ze wzorów zrobisz to znacznie krócej
-- 13 gru 2010, o 09:51 --
pomyłka
\(\displaystyle{ sin\left( \frac{2\pi}{3} \right) = \frac{ \sqrt{3} }{2}}\)