Mam problem z zadaniem: Korzystając z postaci wykładniczej znaleźć zbiory:
\(\displaystyle{ \left| z^{4} \right|= z}\)
Wiem jak wygląda postać wykładnicza liczby zespolonej ale nie mam pojęcia jak to zrobić. Z góry dzięki za pomoc.
Postać wykładnicza`
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Postać wykładnicza`
Niech \(\displaystyle{ z=|z|e^{i\varphi}}\), wówczas równanie przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ ||z|^{4}e^{i4\varphi}|=|z|e^{i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ ||z|^{4}| \cdot |e^{i4\varphi}|=|z|e^{i\varphi}}\) (moduł iloczynu to iloczyn modułów)
\(\displaystyle{ |z|^{4}=|z|e^{i\varphi}}\)
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ |z|=0}\); wówczas \(\displaystyle{ z=0}\)
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ |z| \neq 0}\)
\(\displaystyle{ |z|^{3}=e^{i\varphi}}\)
Równość dwóch liczb zespolonych oznacza, ze maja one równe moduły, zatem:
\(\displaystyle{ |z|^{3}=1}\)
\(\displaystyle{ |z|=1}\)
\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=1}\)
\(\displaystyle{ \varphi=0}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ z=0 \vee z=1}\).
\(\displaystyle{ ||z|^{4}e^{i4\varphi}|=|z|e^{i\varphi}}\)
\(\displaystyle{ ||z|^{4}| \cdot |e^{i4\varphi}|=|z|e^{i\varphi}}\) (moduł iloczynu to iloczyn modułów)
\(\displaystyle{ |z|^{4}=|z|e^{i\varphi}}\)
Pierwszy przypadek: \(\displaystyle{ |z|=0}\); wówczas \(\displaystyle{ z=0}\)
Drugi przypadek: \(\displaystyle{ |z| \neq 0}\)
\(\displaystyle{ |z|^{3}=e^{i\varphi}}\)
Równość dwóch liczb zespolonych oznacza, ze maja one równe moduły, zatem:
\(\displaystyle{ |z|^{3}=1}\)
\(\displaystyle{ |z|=1}\)
\(\displaystyle{ e^{i\varphi}=1}\)
\(\displaystyle{ \varphi=0}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ z=0 \vee z=1}\).