Przedstaw w postaci algebraicznej

[Quaerens]

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+\sqrt{2}i}{1-i} \right) ^{20}}\)
Takie coś miałem na kolokwium, ale pokręciłem i chciałem się was zapytać czy po części to miało sens..

\(\displaystyle{ \left( \frac{1+\sqrt{2}i}{1-i} \right) ^{20}=\frac{ \left( 1+\sqrt{2}i \right) ^{20}}{ \left( 1-i \right) ^{20}}}\)

Liczę moduł \(\displaystyle{ z_1}\) oraz \(\displaystyle{ z_2}\):
\(\displaystyle{ |z_{1}|=\sqrt{3} \\ |z_{2}|=\sqrt{2}}\)

Teraz argumenty dla cosinusa i sinusa, gdy \(\displaystyle{ z_1}\) to cosinus wyszedł mi bardzo dziwny więc zostawiłem, ale drugi argument wyszedł
\(\displaystyle{ \arg\sin=-\frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \arg=-\frac{\pi}{3}}\)

Ale potem odszedłem od tego i przedstawiłem to zgodnie ze wzorem w normalnych liczbach I dziwnie to wszystko powychodziło.

[scyth]

No dziwnie, bo trzeba skorzystać ze wzoru de Moivre'a - najpierw zamień to, co w nawiasie, w jedną liczbę zespoloną.

[Quaerens]

Zamieniałem zarówno licznik jak i mianownik, ale i tak głupoty wychodziły.

[scyth]

\(\displaystyle{ \frac{1+\sqrt{2}i}{1-i} = \frac{(1+\sqrt{2}i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \ldots}\)

[Quaerens]

Ta, teraz to banał... Dzięki