Pierwiastek do obliczenia

[lukasz333]

Witam !

Jak to obliczyć ?

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}}\)

[mathematic]

skorzystaj ze wzoru na pierwiastki liczb zespolonych
k-ty pierwiastek wyraża się wzorem
\(\displaystyle{ z_k = \sqrt[n]{|z|}(cos \frac{argz+2k\pi}{n} +isin \frac{argz+2k\pi}{n})}\)
gdzie k=1,2,...,n-1
jest to pierwiastek 2 stopnia więc u Ciebie n=2, a k=0 oraz k=1 , arg to argument liczby z, a |z| to moduł liczby z

[lukasz333]

Mogłabyś mi to rozwiązać po kolei ? Nie wiem jak się do tego zabrać.

Edit: Zrobiłem to trochę innym sposobem:

\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=x+iy}\)

Ale Twoim sposobem nie mam pojęcia jak zrobić.

[mathematic]

tak myslę teraz że jednak korzystanie z tego wzoru nie będzie takie proste myslę że łatwiej to policzyć można korzystając z tego że
\(\displaystyle{ \sqrt{-3-4i}=a+bi}\)
\(\displaystyle{ -3-4i=(a+bi)^2}\)
i otrzymujemy ukłąd do rozwiązania
\(\displaystyle{ a^2-b^2=-3 \wedge 2ab=-4}\)
rozwiązując ten układ otrzymujemy
1-2i lub -1+2i tylko przelicz to sobie bo mogłam się pomylić

bynajmniej ja bym to tak rozwiązała gdyż jednak z tego pierwszego sposobu trzeba by się bawić w szukanie odpowiedniego argumentu

[lukasz333]

A takie coś ?
\(\displaystyle{ \sqrt{8+6i}}\)

Rozwiązując jak wyżej, czyli:

\(\displaystyle{ \sqrt{8+6i}=x+iy}\)

Wychodzi mi \(\displaystyle{ x^{2}=-1}\)
za \(\displaystyle{ -1}\) podstawiam \(\displaystyle{ i^{2}}\)
Więc x=i, a y z przekształcenia równanie \(\displaystyle{ y=3x}\), czyli \(\displaystyle{ y=3i}\)
\(\displaystyle{ i+3i}\) jest błędnym rozwiązaniem. Gdzie popełniam błąd ?

Odpowiedź ma wyjść \(\displaystyle{ \pm 3+i}\)

[mathematic]

musiałeś się gdzieś po drodze w obliczeniach pomylić bo mi wychodzi \(\displaystyle{ y^2=1}\) czyli \(\displaystyle{ y=\pm1}\)
trzeba rozwiązać układ \(\displaystyle{ x^2-y^2=8 \wedge 2xy=6}\)

[Crizz]

Więc x=i

Warto zauważyć, że jest to w oczywisty sposób błąd, bo szukamy \(\displaystyle{ x,y\in \mathbb{R}}\). Dobrze o tym pamiętać.