potęgowanie liczb zespolonych

[sylvuszka]

Jak zrobić innym sposobem niż przekształcanie na postać trygonometryczną?
\(\displaystyle{ z ^{4}=\left( 1+2i\right) ^{8}}\)
Próbowałam najpierw pierwiastkowania żeby zostało \(\displaystyle{ \left( 1+2i\right )^{2}}\)
i nie wiem czy dobrze i czy mogę tak zrobić. I wyszło mi:
\(\displaystyle{ z=\left( -3;4i\right)}\)

[Crizz]

Nie bardzo wiem, co oznacza wynik (rozumiem, że chodziło o \(\displaystyle{ (1+2i)^{2}=-3+4i}\)), w każdym razie to równanie ma cztery rozwiązania, a nie jedno

\(\displaystyle{ z_{0}=(1+2i)^{2}}\), jak zauważyłaś, na pewno jest rozwiązaniem. Brakuje jeszcze trzech. Ponieważ jednak tak naprawdę szukamy pierwiastków czwartego stopnia, oznaczmy przez \(\displaystyle{ w=cos\frac{\pi}{2}+isin\frac{\pi}{2}}\). Wówczas rozwiązaniami równania są liczby \(\displaystyle{ z_0,z_0w,z_0w^2,z_0w^3}\) (czyli w praktyce: mnożysz \(\displaystyle{ z_0}\) przez \(\displaystyle{ w}\) i otrzymujesz \(\displaystyle{ z_1}\); mnożysz \(\displaystyle{ z_1}\) przez \(\displaystyle{ w}\) i otrzymujesz \(\displaystyle{ z_2}\) i potem znów mnożysz i dostajesz \(\displaystyle{ z_3}\)).

Korzystamy tu z faktu, że możemy wyznaczyć wszystkie pierwiastki n-tego stopnia z liczby zespolonej, jeśli znany pierwiastek \(\displaystyle{ w}\) będziemy "obracać" o kąt \(\displaystyle{ \frac{2\pi}{n}}\).

[sylvuszka]

a nie mogę zrobić tak:
mam juz pierwszy wynik \(\displaystyle{ \left( 1+2i\right) ^{2}}\) = z
i po spotęgowaniu wychodzi jakas tam liczba x
a \(\displaystyle{ z ^{2}}\) to \(\displaystyle{ x \cdot x}\) itd?
Bo ja na prawdę nie rozumiem tej postaci trygonometrycznej. A do jutra się nie nauczę. I nawet jeśli to jest dłuższy sposób to czy jest dobry?

[Crizz]

Możesz zrobić tak:

\(\displaystyle{ z^4-(1+2i)^{8}=0}\)
\(\displaystyle{ (z^2+(1+2i)^{4})(z^2-(1+2i)^4)=0}\)

Rozbijasz to na dwa równania i rozwiązujesz:

\(\displaystyle{ z^{2}=-(1+2i)^{4}}\)
tu możesz podstawić \(\displaystyle{ z=x+yi}\) (rozumiem, że to miałaś na myśli) albo zauważyć, że można to zapisać jako:
\(\displaystyle{ z^{2}=i^{2}(1+2i)^{4}}\)
czyli na pewno \(\displaystyle{ z_0=i(1+2i)^{2}=i(-3+4i)=-4-3i}\) jest rozwiązaniem. Drugie rozwiązanie, które wynika z tego równania, to liczba przeciwna do \(\displaystyle{ z_0}\), czyli \(\displaystyle{ z_1=4+3i}\).

\(\displaystyle{ z^{2}=(1+2i)^{4}}\)
znów zauważasz, że \(\displaystyle{ z_2=(1+2i)^2}\) jest rozwiązaniem, podobnie jak \(\displaystyle{ z_3=-z_2}\).

[sylvuszka]

Dzięki Ci bardzo:)
Mam jeszcze jedno pytanie. Dla równania: \(\displaystyle{ z ^{3}=8(1+i) ^{3}}\)
\(\displaystyle{ z _{2}=<2+2i><cos \frac{4}{3} \pi ; sin \frac{4}{3} \pi>}\) DLaczego \(\displaystyle{ \frac{4}{3}}\) Co było podstawiane za 'n' i 'k'?
wzór \(\displaystyle{ \frac{2 \pi k}{n}= \frac{4}{3} \pi}\)

[Crizz]

\(\displaystyle{ z _{2}=<2+2i><cos \frac{4}{3} \pi ; sin \frac{4}{3} \pi>}\)

Hmm.. prawdę mówiąc, nie bardzo rozumiem ten zapis. Jeśli wytłumaczysz, o co chodzi dokładnie, to chętnie pomogę.