Mam następujący problem
narysować wszystkie liczby zespolone spełniające warunek: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le arg (z ^{3}) < \pi}\)
nie wiem dlaczego zamienia się \(\displaystyle{ arg(z ^{3} ) = 3 \alpha}\) (sądze, że jest to związane z wzorem Demoivere'a) i dodaje/odejmuje sie jakies \(\displaystyle{ 2k \pi}\)
Pewnie to jest łatwe pytanie, proszę o szybką odpowiedź
\(\displaystyle{ arg(z^3) = arg(|r|(cos\alpha + isin\alpha)^3) = arg(|r|^3(cos3\alpha + isin3\apha))}\)
Zatem jeżeli \(\displaystyle{ arg(z) = \alpha}\), to \(\displaystyle{ arg(z^3) = 3\alpha + 2k\pi}\)
Dodajemy \(\displaystyle{ 2k\pi}\) z tego powodu, że kąt po przemnożeniu przez 3 może nam wyskoczyć poza zakres \(\displaystyle{ [0;2\pi]}\), a tego nie chcemy. Zatem teraz nierówność do rozwiązania to: \(\displaystyle{ \frac{ \pi }{2} \le \alpha + 2k\pi < \pi}\)
